Материалы по курсу "Математический анализ" профессора Е.А.Бадерко

Конспекты лекций (рукописные):

  1. Лекции 1 семстра
  2. Лекции 2 семестра (еще один вариант конспекта)
  3. Лекции 3 семестра
  4. Лекции 4 семестра

Задания для самостоятельного изучения материала:

17 марта, вторник.     Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле. Пример несобственного интеграла , сходящегося условно.      Несобственные интегралы от неограниченных функций.  Определение. Примеры. Основные теоремы (аналогичные основным теоремам для несобственных интегралов с бесконечными пределами).      Несобственный интеграл в смысле главного значения. Определение. Пример.  

20 марта, пятница.      Аддитивная функция отрезка. Длина кривой.       Площадь криволинейной трапеции.       Некоторые механические приложения определенных интегралов:  масса и центр тяжести неоднородного стержня, работа переменной силы.  


24 марта, вторник       Добавление к концу последнего задания:   координаты центра тяжести 
Часть 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Гл.2.  НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 
Параграф 1. Линейные, нормированные, метрические  и евклидовы пространства      
Определение линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые элементы.
Примеры,  в  том числе, примеры линейных пространств, элементами которых являются функции.        
Нормы в линейном пространстве. Нормированное пространство. Примеры.      
Расстояние(метрика). Метрические  пространства. Примеры, в том числе, метрика в пространстве, не обязательно линейном.      
Скалярное произведение в линейном пространстве. Евклидовы пространства. Примеры.
Скалярное произведение в пространстве непрерывных на отрезке функций.      
Теорема 1:   Неравенство Коши-Буняковского.      
Теорема 2:   Неравенство Минковского.      
Норма в евклидовом пространстве, индуцированная скалярным произведением. Две нормы в пространстве непрерывных на отрезке функций, одна из которых индуцирована скалярным произведением.


27 марта , пятница Парараф 2. Топология метрического пространства 

п.1.  Окрестности в метрическом пространстве. Определение открытого и замкнутого шара, сферы. Определение окрестности, центрированной окрестности, проколотой окрестности. Примеры, в том числе, в пространстве C[a,b].Свойства окрестностей . 

п.2. Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве. Определения внутренней, внешней, граничной точек, точки прикосновения и предельной точки.  Замыкание множества. Примеры.Определение открытого и замкнутого множества. Окрестность - открытое множество.Множество предельных точек содержится в замыкании множества.Два критерия  того, что A - замкнутое множество: 1) A  совпадает со своим замыканием , 2) дополнение к A  - открыто.  

Примеры. Теорема об объединении (конечном, бесконечном) и пересечении открытых (замкнутых) множеств.   

P.S. Следующая неделя - каникулы, см. сайт мехмата. 

 

Вопросы коллоквиума № 3 (второй семестр).

1.Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).

2.Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.

3.Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.

4.Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.

5.Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.

6.Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).

7.Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.

8.Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.

9.Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.

10.Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.

11.Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

12.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.

13.Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.

14.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.

15.Аддитивная функция отрезка. Длина кривой. Площадь криволинейной трапеции. Некоторые механические приложения определенных интегралов (масса и центр тяжести неоднородного стержня, работа переменной силы).

 

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (1-ый курс, 2-ой семестр).

Лектор – профессор Бадерко Е.А.

1.  Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).

2.  Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.

3.  Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.

4.  Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.

5.  Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.

6.  Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).

7.  Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.

8.  Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.

9.  Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.

10. Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.

11. Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.

13. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.

14. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.

15. Линейные, нормированные, евклидовы и метрические пространства. Неравенства Коши-Буняковского и Минковского.

16. Последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сходимость в R^n. Полнота R^n.

17. Предел отображения из метрического пространства в метрическое пространство. Функции двух переменных: двойные и повторные пределы. Достаточное условие существования повторного предела.

18. Непрерывные отображения в метрических пространствах. Непрерывность композиции. Критерий непрерывности на всем пространстве.

19. Компакты в метрическом пространстве и их свойства (существование предельной точки, ограниченность и замкнутость, компактность замкнутого подмножества).

20. Компактность в R^n (вложенная система n–мерных клеток, компактность n–мерной клетки, критерий компактности в R^n).

21. Свойства непрерывных отображений на компакте (сохранение компактности, ограниченность, достижение максимальных и минимальных значений, равномерная непрерывность). Непрерывные функции на линейном связном множестве в R^n.

22. Производные и дифференциалы первого порядка. Непрерывность дифференцируемой функции. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость вектор-функции.

23. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

24. Производные высших порядков. Теорема Шварца о равенстве смешанных производных. Формулировка теоремы Юнга.

25. Дифференциалы высших порядков. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

26. Теорема Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие существования локального экстремума. Достаточное условие существования строгого локального экстремума.

27. Теорема о существовании и единственности неявной функции (случай одного уравнения). Теорема о неявных функциях для систем уравнений (формулировка).

Категория: