Механико-математический факультет

Конспекты лекций (рукописные):

1. Лекции 1 семстра
2. Лекции 2 семестра (еще один вариант конспекта)
3. Лекции 3 семестра
4. Лекции 4 семестра

Задания для самостоятельного изучения материала:

17 марта, вторник.     Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле. Пример несобственного интеграла , сходящегося условно.      Несобственные интегралы от неограниченных функций.  Определение. Примеры. Основные теоремы (аналогичные основным теоремам для несобственных интегралов с бесконечными пределами).      Несобственный интеграл в смысле главного значения. Определение. Пример.  

20 марта, пятница.      Аддитивная функция отрезка. Длина кривой.       Площадь криволинейной трапеции.       Некоторые механические приложения определенных интегралов:  масса и центр тяжести неоднородного стержня, работа переменной силы.  

24 марта, вторник       Добавление к концу последнего задания:   координаты центра тяжести 
Часть 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Гл.2.  НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 
Параграф 1. Линейные, нормированные, метрические  и евклидовы пространства      
Определение линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые элементы.
Примеры,  в  том числе, примеры линейных пространств, элементами которых являются функции.        
Нормы в линейном пространстве. Нормированное пространство. Примеры.      
Расстояние(метрика). Метрические  пространства. Примеры, в том числе, метрика в пространстве, не обязательно линейном.      
Скалярное произведение в линейном пространстве. Евклидовы пространства. Примеры.
Скалярное произведение в пространстве непрерывных на отрезке функций.      
Теорема 1:   Неравенство Коши-Буняковского.      
Теорема 2:   Неравенство Минковского.      
Норма в евклидовом пространстве, индуцированная скалярным произведением. Две нормы в пространстве непрерывных на отрезке функций, одна из которых индуцирована скалярным произведением.

27 марта , пятница 

Параграф 2. Топология метрического пространства 

П.1.  Окрестности в метрическом пространстве. Определение открытого и замкнутого шара, сферы. Определение окрестности, центрированной окрестности, проколотой окрестности. Примеры, в том числе, в пространстве C[a,b].Свойства окрестностей . 

П.2. Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве. Определения внутренней, внешней, граничной точек, точки прикосновения и предельной точки.  Замыкание множества. Примеры.Определение открытого и замкнутого множества. Окрестность - открытое множество.Множество предельных точек содержится в замыкании множества.Два критерия  того, что A - замкнутое множество: 1) A  совпадает со своим замыканием , 2) дополнение к A  - открыто.  

Примеры. Теорема об объединении (конечном, бесконечном) и пересечении открытых (замкнутых) множеств.   

P.S. Следующая неделя - каникулы, см. сайт мехмата. 

7 апреля, вторник. 

Параграф 3. Последовательности в метрическом пространстве.                        

П.1. Предел последовательности .  Последовательность в метрическом пространстве. Определение сходимости  последовательности. Эквивалентные нормы в метрическом пространстве. Пример трех эквивалентных норм в R^n. Ограниченное множество. Ограниченность сходящейся последовательности.  

П.2. Фундаментальные последовательности в метрическом пространстве. Определение фундаментальной последовательность. Теорема: если последовательность сходится, то она - фундаментальная. Пример фундаментальной последовательности, не имеющей предела. Полные пространства. Сходимость последовательности в R^n. Полнота R^n . 

Параграф 4. Предел отображения.  

П.1. Общие определения. Определение по Коши предела отображения из одного метрического пространства в другое. Единственность предела. Определение по Гейне. Связь между этими определениями.  

П.2. Функции двух переменных. Двойные и повторные пределы. Определение двойного предела для функции двух переменных. Определение повторных пределов. Примеры. Теорема о достаточном условии существования повторного предела.   

10 апреля, пятница.

Параграф 5. Непрерывные отображения в метрических пространствах    

П.1. Определение и основные свойства непрерывного отображения (из одного метрического пространства в другое) в точке. Критерий непрерывности в предельной точке. Теорема о непрерывности композиции. Основные локальные свойства непрерывных отображений.    

П.2. Непрерывные отображения на множестве. Определение непрерывного отображения на множестве. Полный прообраз множества при отображении одного метрического пространства в другое. Теорема: критерий непрерывности отображения на всем пространстве (прообраз открытого множества открыт). Следствие для прообраза замкнутого множества. Пример непрерывного на всем пространстве отображения  и открытого (замкнутого) множества, образ которого замкнут (соотв., открыт).           
 

14 апреля, вторник

П. 3. Непрерывные вектор-функции. Теорема о покоординатной непрерывности вектор-функции. 

Параграф 6. Компактность.

П.1. Определение и основные свойства компакта.  Определение открытого покрытия множества в метрическом пространстве. Определение компактного множества (компакта). Примеры. Лемма:  Критерий для точки быть предельной.  
Теорема 1.  Если A - бесконечное подмножество компакта K , то A имеет хотя-бы одну предельную точку из K.
Теорема 2: Если  множество  K - компакт в метрическом пространстве, то K - ограничено и замкнуто.
Теорема 3: Если  A - замкнутое подмножество компакта, то А - компакт.  

П.2. Компактность в R^n. Определение n-мерной клетки в  R^n. Система вложенных клеток.
Теорема 1: система вложенных клеток имеет непустое пересечение.
Теорема 2: Компактность n- мерной клетки. Теорема 3: Критерий компактности в R^n.          
 

17 апреля, пятница.

Параграф 7. Непрерывные функции на компакте.    

П.1. Сохранение компактности при непрерывном отображении. Теорема : Пусть K - компакт в метрическом пространстве X  и f - непрерывное отображение К в метрическое пространство Y. Тогда f (K) - тоже компакт. Следствия: 1) Пусть выполнены условия Теоремы. Тогда f(K) - ограничено. 2) Пусть выполнены условия Теоремы, причем         Y = R. Тогда f достигает своей верхней (нижней) грани.      

П.2. Равномерная непрерывность. Определение равномерно непрерывного на множестве отображения. Теорема о равномерной непрерывности непрерывного на компакте отображения. 

Параграф 8. Непрерывные функции на связном  множестве в R^n. 

Промежуток в R.   Определение 1: Путь в R^n. Его концы.    Определение 2: (Линейно) связное множество в R^n.  
Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции :  Пусть A - связное множество в  R^n , f - непрерывная на множестве A функция и a, b - точки из A такие, что f(a) меньше f(b). Тогда для любой точки M из интервала (f(a) ,f(b)) существует c из A  такая, что f(c) = M.
 

21 апреля,вторник. 

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 

Параграф 1. Производные и дифференциалы первого порядка.    

П.1. Частные производные.

Рассматриваются функции, определенные на множествах из R^n. Определение частных производных. Пример разрывной в точке функции, имеющей в этой точке все частные производные.    

П.2. Дифференциал первого порядка. 

Определение дифференциала в точке.  Теорема1: Непрерывность дифференцируемой функции.  Теорема 2: Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке все частные производные. Следствие: Вид дифференциала с использованием частных производных. Теорема 3: Достаточное условие дифференцируемости в точке. Пример функции, непрерывной в точке и имеющей все частные производные, но не дифференцируемой в этой точке. Определение дифференцируемой вектор-функции.    

П.3. Геометрический смысли дифференциала. 

Для простоты предполагаем, что функция определена на множестве из R^2. Определение касательной плоскости к поверхности в точке.  Теорема : критерий существования касательной плоскости в точке. Уравнение касательной плоскости .Определение нормали к поверхности в точке.

24 апреля, пятница 

Параграф 2. Дифференцирование сложной функции. Теорема: Пусть X - множество в R^n,  x^0 - внутренняя точка в X,  f - вектор-функция из X в множество Y из R^m, причем  y^0 = f(x^0) -  внутренняя точка  Y,  и  f  дифференцируема в точке x^0.  Пусть  g - функция из Y  в R, причем g дифференцируема в точке y^0.  Тогда композиция  h ( x ) =   g (f ( x ) ), x - из X,  дифференцируема в точке x^0.  При доказательстве этой теоремы, для простоты рассматриваем случай n = m = 2.  

Следствие 1: при условиях теоремы выписывается формула для частных производных функции h, которая следует из доказательства теоремы. Следствие 2 : инвариантность формы первого дифференциала. Следствие 3:  правила дифференцирования для арифметических операций.    

Параграф 3. Производная по направлению в точке. Градиент.                    

Определение 1: Производная функции по заданному направлению, направляющие косинусы направления.  Теорема  о формуле для производной по направлению в точке через направляющие косинусы этого направления в предположении, что функция дифференцируема в заданной точке.   Определение 2: Градиент функции в точке в предположении, что функция имеет в этой точке все частные производные.  Следствие из теоремы: формула для производной в точке  по направлению через градиент в предположении, что функция дифференцируема в этой точке.  Наибольшая (наименьшая) скорость изменения функции в точке определяется направлением градиента в этой точке.

28 апреля, вторник 

Параграф 4.  Производные и дифференциалы высших порядков.      

П.1. Теоремы Шварца и Юнга о смешанных производных.  Определение частной производной второго порядка для функции, заданной в окрестности некоторой точки из R^n. Определение смешанной производной второго порядка. Обозначения для частных производных второго порядка. Пример функции двух переменных , у которой существуют в точке обе смешанные производные, и эти производные не равны.

Теорема Шварца: Пусть функция определена в окрестности некоторой точки x^0  из R^2   и в этой окрестности существуют обе частные производные первого порядка и обе смешанные производные второго порядка  заданной функции, причем смешанные производные непрерывны в точке x^0. Тогда смешанные производные равны между собой.  

Теорема Юнга ( без доказательства!): Пусть функция определена в окрестности некоторой точки x^0 из R^2  и в этой окрестности существуют обе частные производные  первого порядка, причем обе эти производные дифференцируемы в точке x^0. Тогда смешанные производные второго порядка в точке x^0 равны между собой.  

Замечание: из  теоремы Юнга не  следует теорема Шварца, и из теоремы Шварца не  следует теорема Юнга.

Мультииндекс . Частные производные произвольного порядка выше первого.

Обобщенная теорема Шварца: Пусть функция  определена на некотором открытом множестве A из R^n, причем у нее существуют и непрерывны  на A  все производные  до порядка m включительно, где m > 1. Тогда значение в A любой частной производной порядка p,  1<p <m+1, не зависит от порядка дифференцирования в определении этой производной.

5 мая, вторник    

П.2. Дифференциалы высших порядков.              

Определение функции, дважды дифференцируемой в точке x^0 из открытого множества A в R^n. Второй дифференциал  функции в точке x^0. Определение m раз дифференцируемой в точке функции для m>2. Дифференциал порядка m.Мультииндекс k.  Обозначение  k!. 

ЗАМЕЧАНИЯ.

1). Функция f дважды дифференцируема в точке x^0 тогда и только тогда, когда все ее частные производные первого порядка дифференцируемы в этой точке. Аналогичное утверждение справедливо для функции, m раз дифференцируемой в точке для m> 2. 

2). Если функция дважды дифференцируема в точке, то все ее смешанные производные второго порядка  в этой точке равны между собой. Аналогичное утверждение справедливо для функции, m раз дифференцируемой в точке для m> 2.   

3). Вид дифференциала второго порядка. Символическая запись. В частности,  вид второго дифференциала в случае двух независимых переменных. Вид дифференциала произвольного порядка m> 2, записанный с помощью мультииндексов. 

4). Второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы. 

Для доказательства формулы Тейлора предварительно устанавливаются следующие две леммы.  

ЛЕММА 1  (обобщенная формула бинома Ньютона): выражение для m-ой степени суммы n переменных.    

ЛЕММА 2 : Пусть функция  f задана в окрестности точки x^0  из R^n и дифференцируема в этой окрестности p раз для некоторого натурального p. Пусть h - некоторый произвольно фиксированный вектор из R^n . Рассматривается функция  F(t) = f(x^0 + th), -(1+d) < t < 1+d, d - достаточно малое число. Выписывается  выражение для производной порядка  p функции F в точке t через частные производные порядка p функции f  в точке x^0 + th.   

P.S. Письменный экзамен назначен на 11 июня , 10.00, для всех групп третьего потока. В каждый вариант войдут отдельные вопросы о формулировках теорем вместе или без их доказательств из списка вопросов к экзамену, см. сайт math.msu.baderko, а также задачи теоретического характера. Все варианты - разные. 

8 мая, пятница 

П. 3. Формулы Тейлора.  

Теорема 1:  формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.   

Теорема 2:  формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. 

Теорема 3:   формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.  
 

12 мая, вторник

Параграф 5. Пусть задана функция f  на множестве A из R^n   и  x^0 - внутренняя точка множества A. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
1)  x^0 - точка локального максимума ( минимума) для функции  f ;  
 2)  x^0 - точка строгого локального максимума  (минимума) для функции f ;    
3)   x^0 - точка локального экстремума  для функции f .

ТЕОРЕМА 1: необходимый признак существования локального экстремума. 

ЗАМЕЧАНИЯ:  
1) Если функция дифференцируема в точке локального экстремума , то ее производная по любому направлению в этой точке равна нулю. 
2) Необходимое условие из теоремы 1 не является достаточным, пример ( гиперболический параболоид). 

ТЕОРЕМА 2: достаточное условие существования  строгого экстремума. 
 

15 мая, пятница

Параграф 6. Неявные функции  

П.1. Случай одного уравнения. Рассматривается точка  (x^0, y^0)  из R^2  и функция F, заданная в  окрестности O (x^0, y^0)  этой точки. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  1:  Уравнение  F(x, f(x)) = 0 определяет неявно функцию f, заданную в некоторой окрестности  O(x^0) точки  x^0. 

ТЕОРЕМА: существование и единственность неявной функции. 

ЗАМЕЧАНИЯ  (без доказательства):

1) При выполнении условий Теоремы, неявная функция f непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки  x^0.           

2) Теорема обобщается на случай многих переменных, т.е. для x из  R^n.     

П.2. Неявная функция для системы уравнений. Рассматривается точка  (x^0, y^0, z^0  из  R^3  и две функции F  и  G,  заданные в окрестности O (x^0, y^0, z^0 ) ,  этой точки. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: В каком случае система двух уравнений   F(x, f(x), g(x)) = 0,  G(x, f(x), g(x)) = 0    определяет неявно функцию  f,  заданную в некоторой окрестности   O(x^0) точки  x^0. 

ТЕОРЕМА ( формулировка, без доказательства):  существование и единственность неявной функции  в смысле Определения 2.  

P.S.  Это - последняя лекция в этом семестре. Всем - здоровья и успехов на письменном экзамене  11 июня !  

 

========================================

Вопросы коллоквиума № 3 (второй семестр).

1.Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).

2.Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.

3.Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.

4.Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.

5.Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.

6.Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).

7.Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.

8.Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.

9.Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.

10.Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.

11.Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

12.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.

13.Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.

14.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.

15.Аддитивная функция отрезка. Длина кривой. Площадь криволинейной трапеции. Некоторые механические приложения определенных интегралов (масса и центр тяжести неоднородного стержня, работа переменной силы).

 

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (1-ый курс, 2-ой семестр).

Лектор – профессор Бадерко Е.А.

1.  Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).

2.  Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.

3.  Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.

4.  Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.

5.  Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.

6.  Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).

7.  Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.

8.  Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.

9.  Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.

10. Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.

11. Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.

13. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.

14. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.

15. Линейные, нормированные, евклидовы и метрические пространства. Неравенства Коши-Буняковского и Минковского.

16. Последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сходимость в R^n. Полнота R^n.

17. Предел отображения из метрического пространства в метрическое пространство. Функции двух переменных: двойные и повторные пределы. Достаточное условие существования повторного предела.

18. Непрерывные отображения в метрических пространствах. Непрерывность композиции. Критерий непрерывности на всем пространстве.

19. Компакты в метрическом пространстве и их свойства (существование предельной точки, ограниченность и замкнутость, компактность замкнутого подмножества).

20. Компактность в R^n (вложенная система n–мерных клеток, компактность n–мерной клетки, критерий компактности в R^n).

21. Свойства непрерывных отображений на компакте (сохранение компактности, ограниченность, достижение максимальных и минимальных значений, равномерная непрерывность). Непрерывные функции на линейном связном множестве в R^n.

22. Производные и дифференциалы первого порядка. Непрерывность дифференцируемой функции. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость вектор-функции.

23. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

24. Производные высших порядков. Теорема Шварца о равенстве смешанных производных. Формулировка теоремы Юнга.

25. Дифференциалы высших порядков. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

26. Теорема Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие существования локального экстремума. Достаточное условие существования строгого локального экстремума.

27. Теорема о существовании и единственности неявной функции (случай одного уравнения). Теорема о неявных функциях для систем уравнений (формулировка).