Русский
EnglishКонспекты лекций (рукописные):
- Лекции 1 семстра
- Лекции 2 семестра (еще один вариант конспекта)
- Лекции 3 семестра
- Лекции 4 семестра
Задания для самостоятельного изучения материала:
17 марта, вторник. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле. Пример несобственного интеграла , сходящегося условно. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Определение. Примеры. Основные теоремы (аналогичные основным теоремам для несобственных интегралов с бесконечными пределами). Несобственный интеграл в смысле главного значения. Определение. Пример.
20 марта, пятница. Аддитивная функция отрезка. Длина кривой. Площадь криволинейной трапеции. Некоторые механические приложения определенных интегралов: масса и центр тяжести неоднородного стержня, работа переменной силы.
24 марта, вторник Добавление к концу последнего задания: координаты центра тяжести
Часть 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Гл.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Параграф 1. Линейные, нормированные, метрические и евклидовы пространства
Определение линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые элементы.
Примеры, в том числе, примеры линейных пространств, элементами которых являются функции.
Нормы в линейном пространстве. Нормированное пространство. Примеры.
Расстояние(метрика). Метрические пространства. Примеры, в том числе, метрика в пространстве, не обязательно линейном.
Скалярное произведение в линейном пространстве. Евклидовы пространства. Примеры.
Скалярное произведение в пространстве непрерывных на отрезке функций.
Теорема 1: Неравенство Коши-Буняковского.
Теорема 2: Неравенство Минковского.
Норма в евклидовом пространстве, индуцированная скалярным произведением. Две нормы в пространстве непрерывных на отрезке функций, одна из которых индуцирована скалярным произведением.
27 марта , пятница Парараф 2. Топология метрического пространства
п.1. Окрестности в метрическом пространстве. Определение открытого и замкнутого шара, сферы. Определение окрестности, центрированной окрестности, проколотой окрестности. Примеры, в том числе, в пространстве C[a,b].Свойства окрестностей .
п.2. Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве. Определения внутренней, внешней, граничной точек, точки прикосновения и предельной точки. Замыкание множества. Примеры.Определение открытого и замкнутого множества. Окрестность - открытое множество.Множество предельных точек содержится в замыкании множества.Два критерия того, что A - замкнутое множество: 1) A совпадает со своим замыканием , 2) дополнение к A - открыто.
Примеры. Теорема об объединении (конечном, бесконечном) и пересечении открытых (замкнутых) множеств.
P.S. Следующая неделя - каникулы, см. сайт мехмата.
Вопросы коллоквиума № 3 (второй семестр).
1.Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).
2.Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.
3.Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.
4.Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.
5.Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.
6.Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).
7.Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.
8.Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.
9.Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.
10.Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.
11.Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
12.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.
13.Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.
14.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.
15.Аддитивная функция отрезка. Длина кривой. Площадь криволинейной трапеции. Некоторые механические приложения определенных интегралов (масса и центр тяжести неоднородного стержня, работа переменной силы).
Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (1-ый курс, 2-ой семестр).
Лектор – профессор Бадерко Е.А.
1. Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).
2. Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.
3. Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.
4. Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.
5. Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.
6. Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).
7. Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.
8. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.
9. Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.
10. Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.
11. Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.
13. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.
14. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.
15. Линейные, нормированные, евклидовы и метрические пространства. Неравенства Коши-Буняковского и Минковского.
16. Последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сходимость в R^n. Полнота R^n.
17. Предел отображения из метрического пространства в метрическое пространство. Функции двух переменных: двойные и повторные пределы. Достаточное условие существования повторного предела.
18. Непрерывные отображения в метрических пространствах. Непрерывность композиции. Критерий непрерывности на всем пространстве.
19. Компакты в метрическом пространстве и их свойства (существование предельной точки, ограниченность и замкнутость, компактность замкнутого подмножества).
20. Компактность в R^n (вложенная система n–мерных клеток, компактность n–мерной клетки, критерий компактности в R^n).
21. Свойства непрерывных отображений на компакте (сохранение компактности, ограниченность, достижение максимальных и минимальных значений, равномерная непрерывность). Непрерывные функции на линейном связном множестве в R^n.
22. Производные и дифференциалы первого порядка. Непрерывность дифференцируемой функции. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость вектор-функции.
23. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент.
24. Производные высших порядков. Теорема Шварца о равенстве смешанных производных. Формулировка теоремы Юнга.
25. Дифференциалы высших порядков. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
26. Теорема Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие существования локального экстремума. Достаточное условие существования строгого локального экстремума.
27. Теорема о существовании и единственности неявной функции (случай одного уравнения). Теорема о неявных функциях для систем уравнений (формулировка).
- Мар 18, 2020
- Кирилл Владимирович Семенов