Материалы по курсу "Математический анализ" профессора Е.А.Бадерко

Конспекты лекций (рукописные):

Лекции 1 семстра
Лекции 2 семестра (еще один вариант конспекта)
Лекции 3 семестра (вариант, набранный в ТеХе)
Лекции 4 семестра

Задания для самостоятельного изучения материала:

17 марта, вторник. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле. Пример несобственного интеграла , сходящегося условно. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Определение. Примеры. Основные теоремы (аналогичные основным теоремам для несобственных интегралов с бесконечными пределами). Несобственный интеграл в смысле главного значения. Определение. Пример.

20 марта, пятница. Аддитивная функция отрезка. Длина кривой. Площадь криволинейной трапеции. Некоторые механические приложения определенных интегралов: масса и центр тяжести неоднородного стержня, работа переменной силы.

24 марта, вторник   Добавление к концу последнего задания: координаты центра тяжести
Часть 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Гл.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Параграф 1. Линейные, нормированные, метрические и евклидовы пространства
Определение линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые элементы.
Примеры, в том числе, примеры линейных пространств, элементами которых являются функции.
Нормы в линейном пространстве. Нормированное пространство. Примеры.
Расстояние(метрика). Метрические пространства. Примеры, в том числе, метрика в пространстве, не обязательно линейном.
Скалярное произведение в линейном пространстве. Евклидовы пространства. Примеры.
Скалярное произведение в пространстве непрерывных на отрезке функций.
Теорема 1: Неравенство Коши-Буняковского.
Теорема 2: Неравенство Минковского.
Норма в евклидовом пространстве, индуцированная скалярным произведением. Две нормы в пространстве непрерывных на отрезке функций, одна из которых индуцирована скалярным произведением.

27 марта , пятница

Параграф 2. Топология метрического пространства

П.1. Окрестности в метрическом пространстве. Определение открытого и замкнутого шара, сферы. Определение окрестности, центрированной окрестности, проколотой окрестности. Примеры, в том числе, в пространстве C[a,b].Свойства окрестностей .

П.2. Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве. Определения внутренней, внешней, граничной точек, точки прикосновения и предельной точки. Замыкание множества. Примеры.Определение открытого и замкнутого множества. Окрестность - открытое множество.Множество предельных точек содержится в замыкании множества.Два критерия того, что A - замкнутое множество: 1) A совпадает со своим замыканием , 2) дополнение к A - открыто.

Примеры. Теорема об объединении (конечном, бесконечном) и пересечении открытых (замкнутых) множеств.

P.S. Следующая неделя - каникулы, см. сайт мехмата.

7 апреля, вторник.

Параграф 3. Последовательности в метрическом пространстве.

П.1. Предел последовательности . Последовательность в метрическом пространстве. Определение сходимости последовательности. Эквивалентные нормы в метрическом пространстве. Пример трех эквивалентных норм в R^n. Ограниченное множество. Ограниченность сходящейся последовательности.

П.2. Фундаментальные последовательности в метрическом пространстве. Определение фундаментальной последовательность. Теорема: если последовательность сходится, то она - фундаментальная. Пример фундаментальной последовательности, не имеющей предела. Полные пространства. Сходимость последовательности в R^n. Полнота R^n .

Параграф 4. Предел отображения.

П.1. Общие определения. Определение по Коши предела отображения из одного метрического пространства в другое. Единственность предела. Определение по Гейне. Связь между этими определениями.

П.2. Функции двух переменных. Двойные и повторные пределы. Определение двойного предела для функции двух переменных. Определение повторных пределов. Примеры. Теорема о достаточном условии существования повторного предела.

10 апреля, пятница.

Параграф 5. Непрерывные отображения в метрических пространствах

П.1. Определение и основные свойства непрерывного отображения (из одного метрического пространства в другое) в точке. Критерий непрерывности в предельной точке. Теорема о непрерывности композиции. Основные локальные свойства непрерывных отображений.

П.2. Непрерывные отображения на множестве. Определение непрерывного отображения на множестве. Полный прообраз множества при отображении одного метрического пространства в другое. Теорема: критерий непрерывности отображения на всем пространстве (прообраз открытого множества открыт). Следствие для прообраза замкнутого множества. Пример непрерывного на всем пространстве отображения и открытого (замкнутого) множества, образ которого замкнут (соотв., открыт).

14 апреля, вторник

П. 3. Непрерывные вектор-функции. Теорема о покоординатной непрерывности вектор-функции.

Параграф 6. Компактность.

П.1. Определение и основные свойства компакта. Определение открытого покрытия множества в метрическом пространстве. Определение компактного множества (компакта). Примеры. Лемма: Критерий для точки быть предельной.
Теорема 1. Если A - бесконечное подмножество компакта K , то A имеет хотя-бы одну предельную точку из K.
Теорема 2: Если множество K - компакт в метрическом пространстве, то K - ограничено и замкнуто.
Теорема 3: Если A - замкнутое подмножество компакта, то А - компакт.

П.2. Компактность в R^n. Определение n-мерной клетки в R^n. Система вложенных клеток.
Теорема 1: система вложенных клеток имеет непустое пересечение.
Теорема 2: Компактность n- мерной клетки. Теорема 3: Критерий компактности в R^n.

17 апреля, пятница.

Параграф 7. Непрерывные функции на компакте.

П.1. Сохранение компактности при непрерывном отображении. Теорема : Пусть K - компакт в метрическом пространстве X и f - непрерывное отображение К в метрическое пространство Y. Тогда f (K) - тоже компакт. Следствия: 1) Пусть выполнены условия Теоремы. Тогда f(K) - ограничено. 2) Пусть выполнены условия Теоремы, причем Y = R. Тогда f достигает своей верхней (нижней) грани.

П.2. Равномерная непрерывность. Определение равномерно непрерывного на множестве отображения. Теорема о равномерной непрерывности непрерывного на компакте отображения.

Параграф 8. Непрерывные функции на связном множестве в R^n.

Промежуток в R. Определение 1: Путь в R^n. Его концы. Определение 2: (Линейно) связное множество в R^n.
Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции : Пусть A - связное множество в R^n , f - непрерывная на множестве A функция и a, b - точки из A такие, что f(a) меньше f(b). Тогда для любой точки M из интервала (f(a) ,f(b)) существует c из A такая, что f(c) = M.

21 апреля,вторник.

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Параграф 1. Производные и дифференциалы первого порядка.

П.1. Частные производные.

Рассматриваются функции, определенные на множествах из R^n. Определение частных производных. Пример разрывной в точке функции, имеющей в этой точке все частные производные.

П.2. Дифференциал первого порядка.

Определение дифференциала в точке. Теорема1: Непрерывность дифференцируемой функции. Теорема 2: Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке все частные производные. Следствие: Вид дифференциала с использованием частных производных. Теорема 3: Достаточное условие дифференцируемости в точке. Пример функции, непрерывной в точке и имеющей все частные производные, но не дифференцируемой в этой точке. Определение дифференцируемой вектор-функции.

П.3. Геометрический смысли дифференциала.

Для простоты предполагаем, что функция определена на множестве из R^2. Определение касательной плоскости к поверхности в точке. Теорема : критерий существования касательной плоскости в точке. Уравнение касательной плоскости .Определение нормали к поверхности в точке.

24 апреля, пятница

Параграф 2. Дифференцирование сложной функции. Теорема: Пусть X - множество в R^n, x^0 - внутренняя точка в X, f - вектор-функция из X в множество Y из R^m, причем y^0 = f(x^0) - внутренняя точка Y, и f дифференцируема в точке x^0. Пусть g - функция из Y в R, причем g дифференцируема в точке y^0. Тогда композиция h ( x ) = g (f ( x ) ), x - из X, дифференцируема в точке x^0. При доказательстве этой теоремы, для простоты рассматриваем случай n = m = 2.

Следствие 1: при условиях теоремы выписывается формула для частных производных функции h, которая следует из доказательства теоремы. Следствие 2 : инвариантность формы первого дифференциала. Следствие 3: правила дифференцирования для арифметических операций.

Параграф 3. Производная по направлению в точке. Градиент.

Определение 1: Производная функции по заданному направлению, направляющие косинусы направления. Теорема о формуле для производной по направлению в точке через направляющие косинусы этого направления в предположении, что функция дифференцируема в заданной точке. Определение 2: Градиент функции в точке в предположении, что функция имеет в этой точке все частные производные. Следствие из теоремы: формула для производной в точке по направлению через градиент в предположении, что функция дифференцируема в этой точке. Наибольшая (наименьшая) скорость изменения функции в точке определяется направлением градиента в этой точке.

28 апреля, вторник

Параграф 4. Производные и дифференциалы высших порядков.

П.1. Теоремы Шварца и Юнга о смешанных производных. Определение частной производной второго порядка для функции, заданной в окрестности некоторой точки из R^n. Определение смешанной производной второго порядка. Обозначения для частных производных второго порядка. Пример функции двух переменных , у которой существуют в точке обе смешанные производные, и эти производные не равны.

Теорема Шварца: Пусть функция определена в окрестности некоторой точки x^0 из R^2 и в этой окрестности существуют обе частные производные первого порядка и обе смешанные производные второго порядка заданной функции, причем смешанные производные непрерывны в точке x^0. Тогда смешанные производные равны между собой.

Теорема Юнга ( без доказательства!): Пусть функция определена в окрестности некоторой точки x^0 из R^2 и в этой окрестности существуют обе частные производные первого порядка, причем обе эти производные дифференцируемы в точке x^0. Тогда смешанные производные второго порядка в точке x^0 равны между собой.

Замечание: из теоремы Юнга не следует теорема Шварца, и из теоремы Шварца не следует теорема Юнга.

Мультииндекс . Частные производные произвольного порядка выше первого.

Обобщенная теорема Шварца: Пусть функция определена на некотором открытом множестве A из R^n, причем у нее существуют и непрерывны на A все производные до порядка m включительно, где m > 1. Тогда значение в A любой частной производной порядка p, 1<p <m+1, не зависит от порядка дифференцирования в определении этой производной.

5 мая, вторник

П.2. Дифференциалы высших порядков.

Определение функции, дважды дифференцируемой в точке x^0 из открытого множества A в R^n. Второй дифференциал функции в точке x^0. Определение m раз дифференцируемой в точке функции для m>2. Дифференциал порядка m.Мультииндекс k. Обозначение k!.

ЗАМЕЧАНИЯ.

1). Функция f дважды дифференцируема в точке x^0 тогда и только тогда, когда все ее частные производные первого порядка дифференцируемы в этой точке. Аналогичное утверждение справедливо для функции, m раз дифференцируемой в точке для m> 2.

2). Если функция дважды дифференцируема в точке, то все ее смешанные производные второго порядка в этой точке равны между собой. Аналогичное утверждение справедливо для функции, m раз дифференцируемой в точке для m> 2.

3). Вид дифференциала второго порядка. Символическая запись. В частности, вид второго дифференциала в случае двух независимых переменных. Вид дифференциала произвольного порядка m> 2, записанный с помощью мультииндексов.

4). Второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

Для доказательства формулы Тейлора предварительно устанавливаются следующие две леммы.

ЛЕММА 1 (обобщенная формула бинома Ньютона): выражение для m-ой степени суммы n переменных.

ЛЕММА 2 : Пусть функция f задана в окрестности точки x^0 из R^n и дифференцируема в этой окрестности p раз для некоторого натурального p. Пусть h - некоторый произвольно фиксированный вектор из R^n . Рассматривается функция F(t) = f(x^0 + th), -(1+d) < t < 1+d, d - достаточно малое число. Выписывается выражение для производной порядка p функции F в точке t через частные производные порядка p функции f в точке x^0 + th.

P.S. Письменный экзамен назначен на 11 июня , 10.00, для всех групп третьего потока. В каждый вариант войдут отдельные вопросы о формулировках теорем вместе или без их доказательств из списка вопросов к экзамену, см. сайт math.msu.baderko, а также задачи теоретического характера. Все варианты - разные.

8 мая, пятница

П. 3. Формулы Тейлора.

Теорема 1: формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Теорема 2: формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Теорема 3: формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

12 мая, вторник

Параграф 5. Пусть задана функция f на множестве A из R^n и x^0 - внутренняя точка множества A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
1) x^0 - точка локального максимума ( минимума) для функции f ;
2) x^0 - точка строгого локального максимума (минимума) для функции f ;
3) x^0 - точка локального экстремума для функции f .

ТЕОРЕМА 1: необходимый признак существования локального экстремума.

ЗАМЕЧАНИЯ:
1) Если функция дифференцируема в точке локального экстремума , то ее производная по любому направлению в этой точке равна нулю.
2) Необходимое условие из теоремы 1 не является достаточным, пример ( гиперболический параболоид).

ТЕОРЕМА 2: достаточное условие существования строгого экстремума.

15 мая, пятница

Параграф 6. Неявные функции

П.1. Случай одного уравнения. Рассматривается точка (x^0, y^0) из R^2 и функция F, заданная в окрестности O (x^0, y^0) этой точки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: Уравнение F(x, f(x)) = 0 определяет неявно функцию f, заданную в некоторой окрестности O(x^0) точки x^0.

ТЕОРЕМА: существование и единственность неявной функции.

ЗАМЕЧАНИЯ (без доказательства):

1) При выполнении условий Теоремы, неявная функция f непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x^0.

2) Теорема обобщается на случай многих переменных, т.е. для x из R^n.

П.2. Неявная функция для системы уравнений. Рассматривается точка (x^0, y^0, z^0 из R^3 и две функции F и G, заданные в окрестности O (x^0, y^0, z^0 ) , этой точки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: В каком случае система двух уравнений F(x, f(x), g(x)) = 0, G(x, f(x), g(x)) = 0 определяет неявно функцию f, заданную в некоторой окрестности O(x^0) точки x^0.

ТЕОРЕМА ( формулировка, без доказательства): существование и единственность неявной функции в смысле Определения 2.

P.S. Это - последняя лекция в этом семестре. Всем - здоровья и успехов на письменном экзамене 11 июня !

========================================

Вопросы коллоквиума № 3 (второй семестр).

1.Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).

2.Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.

3.Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.

4.Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.

5.Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.

6.Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).

7.Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.

8.Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.

9.Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.

10.Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.

11.Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

12.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.

13.Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.

14.Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.

15.Аддитивная функция отрезка. Длина кривой. Площадь криволинейной трапеции. Некоторые механические приложения определенных интегралов (масса и центр тяжести неоднородного стержня, работа переменной силы).

Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (1-ый курс, 2-ой семестр).

Лектор – профессор Бадерко Е.А.

1. Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).

2. Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.

3. Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.

4. Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.

5. Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.

6. Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).

7. Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.

8. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.

9. Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.

10. Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.

11. Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.

13. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.

14. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.

15. Линейные, нормированные, евклидовы и метрические пространства. Неравенства Коши-Буняковского и Минковского.

16. Последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сходимость в R^n. Полнота R^n.

17. Предел отображения из метрического пространства в метрическое пространство. Функции двух переменных: двойные и повторные пределы. Достаточное условие существования повторного предела.

18. Непрерывные отображения в метрических пространствах. Непрерывность композиции. Критерий непрерывности на всем пространстве.

19. Компакты в метрическом пространстве и их свойства (существование предельной точки, ограниченность и замкнутость, компактность замкнутого подмножества).

20. Компактность в R^n (вложенная система n–мерных клеток, компактность n–мерной клетки, критерий компактности в R^n).

21. Свойства непрерывных отображений на компакте (сохранение компактности, ограниченность, достижение максимальных и минимальных значений, равномерная непрерывность). Непрерывные функции на линейном связном множестве в R^n.

22. Производные и дифференциалы первого порядка. Непрерывность дифференцируемой функции. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость вектор-функции.

23. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

24. Производные высших порядков. Теорема Шварца о равенстве смешанных производных. Формулировка теоремы Юнга.

25. Дифференциалы высших порядков. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

26. Теорема Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие существования локального экстремума. Достаточное условие существования строгого локального экстремума.

27. Теорема о существовании и единственности неявной функции (случай одного уравнения). Теорема о неявных функциях для систем уравнений (формулировка).

Файл: