Конспекты лекций (рукописные и в формате ТеХ/pdf):
- Лекции 1 семестра (конспект, набранный в ТеХе)
- Лекции 2 семестра (конспект в формате pdf; еще один вариант конспекта)
- Лекции 3 семестра (вариант, набранный в ТеХе; еще один вариант)
- Лекции 4 семестра (второй вариант и третий вариант (pdf))
Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (1-ый курс, 1-ый семестр).
- Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Подмножества счетных множеств. Объединение счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел. Пример несчетного множества (Канторов диагональный процесс).
- Аксиома полноты во множестве вещественных числах. Верхняя и нижняя грани множества. Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.
- Лемма о вложенных отрезках. Несчетность множества вещественных чисел.
- Лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии отрезка. Лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке.
- Предел последовательности. Предельный переход и неравенства. Предельный переход и арифметические операции.
- Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число “е”.
- Критерий Коши сходимости последовательности.
- Предел функции в точке. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне.
- Функции, бесконечно малые и бесконечно большие в точке. Предел функции при ( ). Предел бесконечно малой функции на локально ограниченную. Локальная ограниченность функции, имеющей предел. Сравнение асимптотического поведения функций.
- Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.
- Предел композиции функции. Теорема о пределе монотонной функции на [a, +\infty ) (на (-\ifty, a]) при x\to +\inft (-\infty).
- Предел функции по базе. Критерий Коши существования предела функции по базе.
- Непрерывность функции в точке. Локальные свойства функции, непрерывной в точке (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, композиция непрерывных функций).
- Классификация точек разрыва. Разрывы монотонной функции.
- Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.
- Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функциями, непрерывными на отрезке.
- Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
- Теорема об обратной функции.
- Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке. Связь между этими понятиями.
- Арифметические операции и производная.
- Производная композиции. Производная обратной функции.
- Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
- Теоремы Ферма и Ролля.
- Теоремы Коши и Лагранжа о конечных приращениях.
- Правило Лопиталя раскрытия неопределенности «0/0». Формулировка правила раскрытия неопределенности «∞/∞».
- Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Основные асимптотические разложения.
- Критерий монотонности функции на интервале. Достаточное условие строгой монотонности. Первое и второе достаточные условия существования строгого экстремума.
- Выпуклость функции. Критерии выпуклости и строгой выпуклости. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба.
Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (1-ый курс, 2-ой семестр).
- Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).
- Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.
- Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.
- Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.
- Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.
- Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).
- Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.
- Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.
- Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.
- Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.
- Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
- Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.
- Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.
- Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.
- Линейные, нормированные, евклидовы и метрические пространства. Неравенства Коши-Буняковского и Минковского.
- Последовательности в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Сходимость в R^n. Полнота R^n.
- Предел отображения из метрического пространства в метрическое пространство. Функции двух переменных: двойные и повторные пределы.
Достаточное условие существования повторного предела. - Непрерывные отображения в метрических пространствах. Непрерывность композиции. Критерий непрерывности на всем пространстве.
- Компакты в метрическом пространстве и их свойства (существование предельной точки, ограниченность и замкнутость, компактность замкнутого подмножества).
- Компактность в R^n (вложенная система n–мерных клеток, компактность n–мерной клетки, критерий компактности в R^n).
- Свойства непрерывных отображений на компакте (сохранение компактности, ограниченность, достижение максимальных и минимальных значений, равномерная непрерывность). Непрерывные функции на линейном связном множестве в R^n.
- Производные и дифференциалы первого порядка. Непрерывность дифференцируемой функции. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость вектор-функции.
- Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент.
- Производные высших порядков. Теорема Шварца о равенстве смешанных производных. Формулировка теоремы Юнга.
- Дифференциалы высших порядков. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- Теорема Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие существования локального экстремума. Достаточное условие существования строгого локального экстремума.
- Теорема о существовании и единственности неявной функции (случай одного уравнения). Теорема о неявных функциях для систем уравнений (формулировка).
Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (2-й курс, 3-й семестр).
- Числовые ряды и их основные свойства (необходимый признак сходимости, остаток ряда, критерий Коши). Знакоположительные ряды (критерий сходимости, признаки сравнения, предельный признак сравнения).
- Знакоположительные ряды (признак Даламбера, формулировка признака Гаусса, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши).
- Знакопеременные ряды (абсолютная и условная сходимость, перестановка членов абсолютно сходящегося ряда). Теорема Абеля об умножении двух абсолютно сходящихся рядов.
- Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.
- Признаки сходимости Дирихле и Абеля.
- Функциональные последовательности (поточечная и равномерная сходимости, критерий Коши и специальный критерий равномерной сходимости, признак Дини).
- Свойства равномерно сходящихся последовательностей (предельный переход, непрерывность предельной функции). Полнота С[a,b].
- Интегрование и дифференцирование функциональных последовательностей.
- Функциональные ряды (поточечная и равномерная сходимости, критерий Коши равномерной сходимости, предельный переход, почленное интегрирование и дифференцирование). Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
- Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости ряда.
- Степенные ряды (первая теорема Абеля, радиус и интервал сходимости).
- Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Сумма и произведение степенных рядов.
- Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
- Единственность разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложения в ряд Тейлора: ехр х; cos x; sin x.
- Разложения в ряд Тейлора: (1 + х)α; ln(1 + x).
- Непрерывность интеграла, зависящего от трех параметров (в т.ч., от нижнего и верхнего пределов).
- Семейства функций, зависящих от параметра: равномерная сходимость, критерии Коши и Гейне равномерной сходимости. Предельный переход под знаком интеграла.
- Дифференцируемость интеграла, зависящего от трех параметров (в т.ч., от нижнего и верхнего пределов). Формула Лейбница.
- Интегрируемость интеграла, зависящего от параметра.
- Равномерная сходимость несобственных интегралов: а) с бесконечным промежутком интегрирования; б) от неограниченных функций. Критерии Коши и Гейне. Критерий равномерной сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции.
- Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов.
- Предельный переход в несобственном интеграле. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- Дифференцируемость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле.
- Интегрируемость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Теорема об изменении порядка интегрирования в повторных несобственных интегралах.
- Интеграл Пуассона. Интегралы Эйлера. Формулировка теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.
- Ортогональные системы функций. Ортогональность и линейная независимость. Ряд Фурье кусочно-непрерывной функции по ортогональной системе. Теорема о единственности разложения в ряд по ортогональной системе. Неравенство Бесселя.
- Тригонометрический ряд Фурье. Теорема о достаточных условиях сходимости ряда Фурье в точке
Экзаменационные вопросы по курсу математического анализа (2 курс, 4 семестр).
- Интеграл Римана на брусе. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу.
- Предельный критерий интегрируемости на брусе. Критерий Дарбу.
- Множества меры нуль. Теорема об инвариантности меры нуль при С1 – отображении (формулировка). База окрестностей в ℝn. Теорема о выделении счетного подпокрытия из открытого покрытия множества в ℝn. Достаточное условие для множества быть множеством меры нуль.
- Мера графика непрерывной функции. Теорема Сарда для m < n. Формулировка теорем Сарда для m = n и для m > n.
- Множества объема нуль. Колебания функции в точке. Критерий Бэра непрерывности функции в точке. Теорема Кантора.
- Критерий Лебега интегрируемости на брусе.
- Измеримые по Жордану множества. Критерий измеримости по Жордану. Критерий для измеримого множества быть множеством объема нуль.
- Пересечение и объединение конечного числа измеримых множеств. Теорема о локальном диффеоморфизме (формулировка). Теорема о сохранении измеримости при С1- отображении.
- Интеграл Римана на ограниченном множестве в ℝn. Корректность определения. Критерий Лебега интегрируемости на измеримом множестве.
- Теорема о равенстве интегралов для интегрируемых функций, равных нулю почти всюду. Линейность интеграла. Произведение интегрируемых функций. Интегрируемость на измеримом подмножестве. Аддитивность интеграла.
- Модуль интегрируемой функции. Интеграл от неотрицательной функции. Интеграл по брусу от положительной функции. Теорема о неотрицательной функции, интеграл которой равен нулю.
- Теоремы Фубини для бруса и для цилиндроида.
- Замена переменных в случае простейшего диффеоморфизма. Замена переменных в случае финитной функции. Теорема о замене переменной в общем случае.
- Несобственные кратные интегралы.
- Криволинейный интеграл I рода на плоскости и пространстве. Сведение криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу.
- Криволинейный интеграл II рода. Вычисление криволинейного интеграла II рода.
- Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Теорема об аппроксимации криволинейного интеграла (формулировка). Формула Грина. Критерий полного дифференциала.
- Задание поверхности в пространстве. Край и внутренние точки поверхности. Гладкая поверхность. Регулярные точки поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Ориентация поверхности. Преобразование параметров гладкой поверхности. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл I рода.
- Поверхностный интеграл II рода. Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского.
Вопросы к коллоквиумам:
1 семестр
- Множества. Операции над ними. Декартово произведение.
- Отображения. функции. Классификация отображений. График отображения. суперпозиция отображений. Обратное отображение.
- Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Подмножества счетных множеств. Объединение счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел. Пример насчетного множества (Канторов диагональный процесс).
- Натуральные числа и принцип математической индукции. Неравенство Бернулли. Бином Ньютона.
- Аксиомы полноты во множестве вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани множеств. Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.
- Лемма о вложенных отрезках. Несчетность множества вещественных чисел.
- Лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии отрезка. Лемма Больцано-Вейерштрасса о предельной точке.
- Внутренние, внешние, граничные точки множества, точки прикосновения и изолированные точки. Теорема о замыкании множества и о дополнении к нему.
- Открытые и замкнутые множества. Критерий замкнутости множества. Теоремы об объединении (пересечении) открытых и замкнутых множеств.
- Предел последовательности. Его единственность. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность. Ограниченность последовательности, имеющей предел.
- Предельный переход и неравенства. Предельный переход и арифметические операции.
- Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число «е».
- Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.
- Критерий Коши сходимости последовательности.
2 семестр
- Первообразная функция на интервале. Неопределенный интеграл и его свойства (линейность, интегрирование по частям, замена переменной).
- Интегрируемость функции на отрезке. Критерий Коши. Необходимое условие интегрируемости.
- Достаточный признак интегрируемости, связанный с колебанием функции. Классы интегрируемых функций.
- Множества лебеговой меры нуль. Критерий интегрируемости по Лебегу (формулировка). Интеграл от функции, интегрируемой на отрезке и равной нулю почти всюду.
- Критерий Дарбу и специальный критерий интегрируемости ограниченной функции.
- Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, интегрируемость произведения).
- Интегрирование и неравенства. Первая теорема о среднем. Формулировка второй теоремы о среднем.
- Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему (нижнему) пределу.
- Существование первообразной у непрерывной на интервале функции. Первообразная для функции, непрерывной на отрезке.
- Формула Ньютона – Лейбница для интегрируемой на отрезке функции. Замена переменной в определенном интеграле.
- Интегрирование по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
- Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимость.
- Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами. Признак Дирихле.
- Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл в смысле главного значения.
3 семестр
- Числовые ряды и их основные свойства (необходимый признак сходимости, остаток ряда, критерий Коши). Знакоположительные ряды (критерий сходимости, признаки сравнения, предельный признак сравнения).
- Знакоположительные ряды (признак Даламбера, формулировка признака Гаусса, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши).
- Знакопеременные ряды (абсолютная и условная сходимость, перестановка членов абсолютно сходящегося ряда). Теорема Абеля об умножении двух абсолютно сходящихся рядов.
- Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда.
- Признаки сходимости Дирихле и Абеля.
- Функциональные последовательности (поточечная и равномерная сходимости, критерий Коши и специальный критерий равномерной сходимости, признак Дини).
- Свойства равномерно сходящихся последовательностей (предельный переход, непрерывность предельной функции). Полнота С[a,b].
- Интегрование и дифференцирование функциональных последовательностей.
- Функциональные ряды (поточечная и равномерная сходимости, критерий Коши равномерной сходимости, предельный переход, почленное интегрирование и дифференцирование). Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
- Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости ряда.
- Степенные ряды (первая теорема Абеля, радиус и интервал сходимости).
- Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля. Сумма и произведение степенных рядов.
- Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
- Единственность разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Разложения в ряд Тейлора: ехр х; cos x; sin x.
- Разложения в ряд Тейлора: (1 + х)α; ln(1 + x).
4 семестр
- Интеграл Римана на брусе. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу.
- Предельный критерий интегрируемости на брусе. Критерий Дарбу.
- Множества меры нуль. Теорема об инвариантности меры нуль при С1 – отображении (формулировка). База окрестностей в ℝn. Теорема о выделении счетного подпокрытия из открытого покрытия множества в ℝn. Достаточное условие для множества быть множеством меры нуль.
- Мера графика непрерывной функции. Теорема Сарда для m < n. Формулировка теорем Сарда для m = n и для m > n.
- Множества объема нуль. Колебания функции в точке. Критерий Бэра непрерывности функции в точке. Теорема Кантора.
- Критерий Лебега интегрируемости на брусе.
- Измеримые по Жордану множества. Критерий измеримости по Жордану. Критерий для измеримого множества быть множеством объема нуль.
- Пересечение и объединение конечного числа измеримых множеств. Теорема о локальном диффеоморфизме (формулировка). Теорема о сохранении измеримости при С1- отображении.
- Интеграл Римана на ограниченном множестве в ℝn. Корректность определения. Критерий Лебега интегрируемости на измеримом множестве.
- Теорема о равенстве интегралов для интегрируемых функций, равных нулю почти всюду. Линейность интеграла. Произведение интегрируемых функций. Интегрируемость на измеримом подмножестве. Аддитивность интеграла.
Категория:
- Мар 18, 2020
- Кирилл Владимирович Семенов