Кабинет истории и методологии математики и механики. Методические материалы для аспирантов.

Шифр специальности07.00.10 История науки и техники

Методические указания к кандидатскому минимуму по истории математики.

Формула специальности:

Содержанием специальности «История науки и техники» является история становления и развития мирового и отечественного науковедения, история становления и развития гуманитарных, общественных, технических, физико-математических, медицинских, аграрных, геолого-минералогических, химических, биологических, сельскохозяйственных, географических, ветеринарных наук и архитектуры, а также взаимодействие отечественной и мировой науки в изучении конкретных научных проблем. Исследования в рамках указанной специальности способствуют обобщению историко-научного материала с целью воссоздания целостной картины становления и развития отдельных отраслей научного знания и конкретных наук.

Области исследований:

  1. Исторический анализ становления и развития науки и техники.
  2. История становления и развития научных школ и направлений, роли их основоположников – ведущих ученых – в развитии мировой науки, установление и обоснование приоритетов в открытиях, в разработке новых методов фундаментальных теорий.
  3. История исследований и открытий в конкретных областях научного знания.
  4. Выявление и исторический анализ неизвестных ранее фактов и нововведений, представляющих научную и историческую ценность.
  5. Обобщение историко-научного материала с целью воссоздания целостной картины становления и развития отдельных наук и отраслей научного знания.
  6. Исследование проблем классификации науки и путей эволюции структуры отдельных наук или областей научного знания.
  7. Исследование основных тенденций и закономерностей становления и развития отдельных наук или отраслей научного знания.
  8. Исследование основных связей между запросами практики и развитием научного познания.
  9. Исследование необходимости развития определенных направлений научно-технической политики.
  10. Исследование качественных изменений и исторических переходов от одного состояния отдельных отраслей науки к другому для осуществления прогнозирования развития отдельных наук и отраслей научного знания.
  11. История становления и развития промышленных комплексов и других объектов народнохозяйственного значения.
  12. Философские науки.

Содержанием специальности «История науки и техники» являются следующие темы:

‒ исследование генезиса и развития научного и технического знания в контексте материальной и духовной культуры,

‒ анализ эволюции отечественной науки в ее взаимосвязи и взаимодействии с мировой наукой,

‒ сопоставление науки Востока и Запада,

‒ описание мировых центров научной мысли,

‒ изучение становления научных идей, теорий и традиций, традиционного и новаторского в науке,

‒ выявление исторических форм и национальных и региональных особенностей научного знания и познания.

Специальность «История науки и техники» включает также историографию истории науки, которая активно взаимодействует с исследованиями по философии науки, истории мировой культуры и истории философии.

Исследование проблем специальности «история науки и техники» предполагает освоение корпуса историко-научных источников – научной литературы, архивных документов (переписка, дневники, подготовительные материалы и т.д.), мемуаров ученых и их исторических экскурсов, проведение интервью с крупными специалистами в области науки. Оно требует квалифицированной работы с историко-научной литературой, а также с литературой по историографии истории науки. Оно может быть выполнено при привлечении и освоении релевантной литературы по истории философии, философии науки и гражданской истории при привлечении материалов дискуссий и результатов международных историко-научных симпозиумов и конференций по истории и философии науки, а также учета образовательной практики ведущих высших учебных заведений России и зарубежных стран.

Цель специальности «история науки и техники» – подготовка профессиональных ученых и преподавателей, не только превосходно владеющих знанием предмета и пробуждающих интерес к историческому развитию науки, но и способных востребовать и оживить мысленный опыт прошлого в пространстве современных мировоззренческих потребностей и применительно к решению теоретических проблем естественнонаучного и гуманитарного профиля.

Полный текст Паспорта специальности 07.00.10 на сайте ВАК

 

 

  Методические указания к кандидатскому минимуму по истории математики

ПРОГРАММА КАНДИДАТСКОГО ЭКЗАМЕНА

"ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ"

     Программа-минимум разработана Институтом истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова РАН и Московским государственным университетом им. М.В. Ломоносова (механико-математический факультет).

     Авторы программы ‒ д.ф.-м.н. С.С. Демидов, д.филос.н. А.Г. Барабашев, к.ф.-м.н. С.С. Петрова. При ее подготовке были учтены замечания действительного члена РАН А.Н. Паршина, д.ф.-м.н. М.И. Зеликина и д.ф.-м.н. В.М. Ти­хомирова.

1. Периодизация истории математики

1.1. Основные этапы развития математики: периодизация А. Н. Колмогорова

2. Математика Древнего мира

2.1. Истоки математических знаний. Первоначальные астрономические и математические представления эпохи неолита. Представления о числах и фигурах в первобытном обществе. Системы счисления.

2.2. Математика в догреческих цивилизациях. Древний Египет ‒ источники, нумерация, арифметические и геометрические знания.

Древний Вавилон ‒ источники, шестидесятеричная позиционная систе­ма счисления. Арифметика. Решение линейных, квадратных уравнений и си­стем уравнений с двумя неизвестными. «Пифагорейские тройки». Числовой, алгоритмический характер вавилонской математики. Геометрические зна­ния. Проблема влияния египетской и вавилонской математики на последую­щее развитие математического знания.

2.3. Древняя Греция. Источники. Рождение математики как теоретиче­ской науки. Фалес. Пифагорейцы. Место математики в пифагорейской систе­ме знания. Арифметика пифагорейцев. Первая теория отношений. Откры­тие несоизмеримости. Классификация иррациональностей Теэтета. Геомет­рическая алгебра. Геометрия циркуля и линейки. Знаменитые задачи древно­сти ‒ удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга ‒ и их решение в XIX в.; трансцендентность числа «пи» и седьмая проблема Д. Гильберта. Па­радоксы бесконечного. Апории Зенона. Атомизм Демокрита. Евдокс. Строе­ние отрезка. Роговидные углы. Аксиома Евдокса‒Архимеда. Теория отноше­ний Евдокса. «Метод исчерпывания». Место математики в философии Пла­тона. «Математический платонизм» как взгляд на сущность математики. Ма­тематика в философской концепции Аристотеля.

2.4. Математика эпохи эллинизма. Синтез греческих и древневосточных социокультурных и научных традиций. Аксиоматическое построение математики в «Началах» Евклида. Структура «Начал». Правильные многогранники и структура космоса. Архимед. Дифференциальные и интегральные методы. Аполлоний. Теория конических сечений. Роль теории конических сечений в развитии математики и математического естествознания (законы Кеплера, динамика Ньютона). Ценностные иерархии объектов, средств решения задач и классификация кривых в античной геометрии. Математика первых веков новой эры (Герон, Птолемей). «Арифметика» Диофанта. Роль диофантова анализа в истории алгебры и алгебраической геометрии с древности до на­ших дней (решение проблемы Морделла, доказательство Великой теоремы Ферма). Представления о предмете и методах математики у неоплатоников, «математический платонизм» как развитие этих представлений. Закат антич­ной культуры и комментаторская деятельность математиков поздней антич­ности.

2.5. Математика в древнем и средневековом Китае. Китайская нумерация и арифметические действия. «Математика в девяти книгах» ‒ выдающийся куль­турный памятник древнего Китая. Структура математического текста. Геомет­рия, теория пропорций, системы линейных уравнений, инфинитезимальные про­цедуры, отрицательные числа. Счетная доска и вычислительные методы.

2.6. Математика в древней и средневековой Индии. Источники. Цифровая позиционная система. Появление записи нуля. Дроби. Задачи на пропорции. Линейные и квадратные уравнения. Неопределенные уравнения. Отрицате­льные и иррациональные числа. Суммирование бесконечных рядов. Геомет­рические знания. Достижения в области тригонометрии.

3. Математика Средних веков и эпохи Возрождения

3.1. Средневековая математика как специфический период в развитии ма­тематического знания. Математика арабского Востока. Переводы греческих авторов. Трактат ал-Хорезми «Об индийском счете» и победное шествие «арабских» цифр по средневековой Европе. «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы». Классификация квадратных уравнений. Выделение алгебры в самостоятельную науку. Омар Хайям. Кубические уравнения. Практический характер математики. Геометрические исследования: теория параллельных в связи с попытками доказать V постулат Евклида. Арифметизация теории квадратичных иррациональностей в работах арабских коммен­таторов Евклида. Инфинитезимальные методы. Отделение тригонометрии от астрономии и превращение ее в самостоятельную науку.

3.2. Математика в средневековой Европе. Математика в Византии. Перево­ды с арабского и греческого. Индийская нумерация, коммерческая арифме­тика, арифметическая и геометрическая прогрессии, практически ориенти­рованные геометрические и тригонометрические сведения у Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Творчество Фибоначчи. «Арифметика, изложенная в 10 книгах» И. Неморария. Развитие античных натурфилософских идей и математика. Оксфордская и Парижская школы. Схоластические теории изменения величин (учение о конфигурации качеств, о широтах форм) как предвосхищение математики переменных величин XVH в. Дискуссии по пробле­мам бесконечного, непрерывного и дискретного в математике.

3.3. Математика в эпоху Возрождения. Проблема решения алгебраических уравнений, расширение понятия числа, совершенствование символики, решение уравнений 3-й и 4-й степеней в радикалах. Алгебра Виета. Проблема перспективы в живописи Ренессанса и математика. Иррациональные числа. Отрицательные, мнимые и комплексные числа (Дж. Кардано, Р. Бомбелли и др.). Десятичные дроби. Тригонометрия в астрономических сочинениях.

4. Рождение и первые шаги математики переменных величин

4.1. Математика и научно-техническая революция XVIXVH вв. Механическая картина мира и математика. Новые формы организации науки. Разви­тие вычислительных средств ‒ открытие логарифмов. Жизнь и творчество Р. Декарта. Число у Декарта. Рождение аналитической геометрии.

Теоретико-числовые проблемы в творчестве Ферма. Создание основ проективной геометрии в работах Дезарга и Паскаля. Переписка Ферма и Паскаля и первые теоретико-вероятностные представления. Появление статистических исследований.

Развитие интеграционных и дифференциальных методов в ХУП в. (И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль). Жизнь и творчество И. Ньютона и Г. Лейбница. Открытие Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Спор о приоритете и различия в подходах. Первые шаги математического анализа (И. и Я. Бернулли и др.). Проблема обоснова­ния дифференциального и интегрального исчислений и критика Беркли.

4.2. Математика и Великая французская революция. Создание Политехниче­ской и Нормальной школ и их влияние на развитие математики и математиче­ских наук. Развитие математического анализа в ХУШ в. Расширение поля иссле­дований и выделение основных ветвей математического анализа ‒ дифференци­ального и интегрального исчислений в узком смысле слова, теории рядов, теории дифференциальных уравнений ‒ обыкновенных и с частными производными, теории функций комплексного переменного, вариационного исчисления. Мате­матическая трилогия Л. Эйлера. Жизнь и творчество Л. Эйлера, Классифика­ция функций у Эйлера. Основные понятия анализа. Обобщение понятия сум­мы ряда. Спор о колебании струны. Развитие понятия функции. Расширение понятия решения дифференциального уравнения с частными производными ‒ понятия классического и обобщенного решений, появление понятия обобщен­ной функции в XX столетии. Проблема обоснования алгоритмов дифференци­ального и интегрального исчислений. Подходы Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, Л. Карно, Ж. Даламбера. Вариационные принципы в естествознании.

5. Период современной математики

5.1. Математика XIX в. Организация математического образования и математических исследований. Ведущие математические школы. Математические журналы и общества. Школа К. Вейерштрасса. Жизнь и деятельность С.В. Ковалевской. Организация первых реферативных журналов и междуна­родных математических конгрессов ‒ в Цюрихе (1897), Париже (1900). Нача­ло издания в Германии «Энциклопедии математических наук». Доклад Д. Ги­льберта «Математические проблемы» (1900).

 5.2. Реформа математического анализа. Идеи Б. Больцано в области теории функций. О. Коши и построение анализа на базе теории пределов. Нестандартный анализ А. Робинсона (1961) и проблема переосмысления истории возникновения и первоначального развития анализа бесконечно малых. К. Вейерштрасс и арифметизация анализа. Теория действительного числа (Г. Кантор, Р. Дедекинд). Г. Кантор и создание теории множеств. Открытие парадоксов теории множеств. Создание теории функций действительного пе­ременного (А. Лебег, Р. Бэр, Э. Борель).

5.3. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Проблема интег­рируемости уравнений в квадратурах (результаты Ж. Лиувилля по интегри­рованию уравнения Риккати, С. Ли и его подход к проблеме). Перестройка оснований теории в трудах О. Коши (задача Коши, доказательство существо­вания решения задачи Коши). Линейные дифференциальные уравнения, тео­рия Штурма-Лиувилля, аналитическая теория дифференциальных уравне­ний.

Качественная теория А. Пуанкаре и теория устойчивости А.М. Ляпуно­ва. Теория динамических систем ‒ от А. Пуанкаре до КАМ-теории.

5.4. Теория уравнений с частными производными. Теория уравнений перво­го порядка (теория Лагранжа-Шарпи, работы И. Пфаффа, О. Коши и К. Якоби, «второй метод Якоби», теория С. Ли). Общая геометрическая тео­рия уравнений с частными производными (С. Ли, Э. Картан, Д.Ф. Егоров).

Теория потенциала и теория теплопроводности Ж.-Б. Фурье и теория уравнений математической физики. Классификация уравнений по типам (эллиптические, параболические и гиперболические) П. Дюбуа-Реймона. Теоре­ма Коши-Ковалевской. Понятие корректности краевой задачи по Ж. Адамару. Взгляд на общую теорию как на общую теорию краевых задач для уравне­ний различных типов. Системы уравнений с частными производными. 19-я и 20-я проблемы Гильберта и теория эллиптических уравнений в XX в.

5.5. Теория функций комплексною переменного. Геометрическая интерпре­тация комплексных чисел. О. Коши и его результаты в построении теории функций комплексного переменного. Геометрическая теория функций комп­лексного переменного Б. Римана. Римановы поверхности. Принцип Дирихле. Аналитическое направление К. Вейерштрасса теории функций комплексно­го переменного. Целые и мероморфные функции. Теорема Пикара. Абелевы функции. Автоморфные функции. Унисрормизация.

5.6. Эволюция геометрии в Х1Х‒начале XX вв. Создание проективной геометрии. Жизнь и творчество К.-Ф. Гаусса. Дифференциальная геометрия. От­крытие Н.И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Априоризм Канта и неев­клидова геометрия. Интерпретации неевклидовой геометрии. Риманова гео­метрия. «Эрлангенская программа» Ф. Клейна. «Основания геометрии» Д. Ги­льберта и эволюция аксиоматического метода (содержательная, полуформальная, формальная аксиоматизации).

Рождение топологии. Комбинаторная топология А. Пуанкаре. Диссертация М. Фреше (1906). Теория топологических пространств. Теория размерно­сти. Возникновение алгебраической топологии.

Геометрическая теория алгебраических уравнений. Идеи Р. Клебша и М. Нетера. Итальянская школа алгебраической геометрии. Аналитическая теория многообразий.

5.7. Эволюция алгебры в XIX ‒ первой трети XX в.. Проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Э. Галуа и рождение теории групп. Развитие теории групп в XIX в. (А. Кэли, К. Жор дан, теория непрерывных групп С. Ли). Аксиоматика теории групп. Теория групп и физика (кристал­лография, квантовая механика). Развитие линейной алгебры. Английская школа символической алгебры. Кватернионы У. Гамильтона, гиперкомплек­сные системы, теория алгебр. Теория алгебраических чисел. Формирование понятий тела, поля, кольца. Формирование «современной алгебры» в трудах Э. Нетер и ее школы. Эволюция предмета алгебры от теории алгебраических уравнений до теории алгебраических структур.

5.8. Аналитическая теория чисел. Проблема распределения простых чисел (К.-Ф. Гаусс, П. Дирихле, П.Л. Чебышев, Ж. Адамар, Ш. Валле-Пуссен), теория трансцендентных чисел (Ж. Лиувилль, Ш. Эрмит, А.О. Гельфонд), аддитивные проблемы ‒ проблема Гольдбаха (И.М. Виноградов) и проблема Варинга (Д. Гильберт, Г. Харди). Алгебраическая теория чисел ‒ работы К.Ф. Гаусса, обоснование теории делимости для полей корней из единицы (Э. Куммер), а затем для произвольных полей алгебраических чисел (Р. Деде­кинд, Е.И. Золотарев, Л. Кронекер), доказательство квадратичного и биквадратичного (К.Ф. Гаусс), а затем и кубического закона взаимности (Г. Эйзенш­тейн, К. Якоби). Геометрическая теория чисел (Г. Минковский, Г.Ф. Вороной).

5.9. Вариационное исчисление Эйлера. Создание метода вариаций. Вторая вариация и условия Лежандра и Якоби. Теория сильного экстремума Вейерштрасса. Теория Гамильтона-Якоби. Инвариантный интеграл Гильберта. Ва­риационные задачи с ограничением. Теория экстремальных задач в XX в. Принцип максимума Понтрягина.

Рождение функционального анализа: «функциональное исчисление» В. Вольтерра, С. Пинкерле, исследования по интегральным уравнениям (И. Фредгольм, Д. Гильберт), вариационному исчислению. Понятие гильбер­това пространства. Банаховы пространства (С. Банах, Н. Винер).

5.10. Развитие теории вероятностей во второй половине XIX ‒ первой трети XX вв. Формирование основ теории вероятностей. Трактат Я. Бернулли «Ис­кусство предположений». Появление основных теорем теории вероятностей. П. Лаплас и теория вероятностей. Предельные теоремы теории вероятнос­тей. Петербургская школа П.Л. Чебышева и теория вероятностей ХIХ ‒ начала XX вв. Проблема аксиоматизации теории вероятностей. Аксиоматика А.Н. Колмогорова.

5.11. Математическая логика и основания математики в XIX ‒ первой поло­вине XX вв. Предыстория математической логики. Символическая логика Г. Лейбница. Квантификация предиката. Логика А. де Моргана. Алгебра ло­гики Дж. Буля и У. Джевонса. Символическая логика Дж. Венна. Алгебра ло­гики Э. Шредера и П.С. Порецкого. Исчисление высказываний Г. Фреге. «Формуляр математики» Дж. Пеано. «Principia Mathematica» Б. Рассела и А. Уайтхеда. Работы по основаниям геометрии и арифметики конца XIX в. Кризис в основаниях математики в начале века и попытки выхода из него: ло­гицизм, формализм, интуиционизм. Формалистское понимание математиче­ского существования. Непротиворечивость как основная характеристика математической теории. Конструктивизм. Аксиоматизация теории множеств. Континуум-гипотеза и попытки ее доказательства от Г. Кантора до П. Коэна. Результаты К. Геделя и кризис гильбертовской программы обоснования математики Возникновение группы Бурбаки, ее деятельность и идеология. Реак­ция на нее математического сообщества.

5.12. История вычислительной техники. Абак, механические счетные машины (В. Шиккард, Б. Паскаль, Г. Лейбниц, П.Л. Чебышев), аналитическая машина Ч. Бэббеджа, электромеханические счетные машины, создание электронных вычислительных машин. Появление персональных компьютеров. Экспансия информатики. Допустимость компьютерного доказательства ‒проблема четырех красок.

5.13. Математика XX в. Основные этапы жизни математического сообщества ‒ до Первой мировой войны, в промежутке между Первой и Второй мировыми войнами, во второй половине XX в. Математические конгрессы, международные организации, издательская деятельность, премии (Филдсовская премия, премия Р. Неванлинны и др.). Ведущие математические школы и институты. Творчество А. Пуанкаре и Д. Гильберта.

6. Математика в России и в СССР.

6.1. Математика в России до середины XIX в Математические знания в до­петровской Руси. Математика в Академии наук в XVIII в. Школа Л. Эйлера. Реформы Александра I. Жизнь и творчество Н.И. Лобачевского.

6.2. Математика в России во второй половине XIX в. Реформы Александра П. Жизнь и творчество П.Л. Чебышева. Школа ПА. Чебышева. Создание Московского математического общества и деятельность Московской философско-математической школы.

6.3. Математика в России и в СССР в XX в. Организация математической жизни в стране накануне Первой мировой войны. Конфронтация Петербурга и Москвы. Рождение Московской школы теории функций действительного переменного. Математика в стране в первые годы Советской власти. Идеологические бури 30-х гг. Рождение Советской математической школы. Матема­тические съезды и конференции, издания, институты. Ведущие математиче­ские центры. Творчество А.Н. Колмогорова.

 

Список рекомендуемой литературы:

1. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.

2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А.П. Юшкевича. М., 1970‒1972. Т. 1‒3.

3. История отечественной математики / Под ред. И.З. Штокало. Киев, 1966‒1970. Т. 1‒4.

4. Колмогоров А.Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия. 2-е изд. 1954. Т. 26.

5. Математика ХIХ века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М., 1978.

6. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М., 1981.

7. Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные диффе­ренциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей / Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М., 1987.

8. Очерки по истории математики / Под ред. Б. В. Гнеденко. М., 1997.

9. Рыбников К. А. История математики. М., 1994. (В последние годы в виде отдельных брошюр, изданных МГУ, появились дополнительные главы к книге, затрагивающие развитие ряда ма­тематических дисциплин в XX в.).

10. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года.  М., 1968.

 

Список дополнительной литературы:

1. Б. В. Гнеденко.  Очерки по истории математики в России. М.‒Л., 1946.

2. Историко-математические исследования. Вып. 1‒35. М., 1948‒1994, 2-я серия. Вып. 1(36) ‒ 7(41). М., 1995‒2002.

3. Стройк Д.Я.  Краткий очерк истории математики. М., 1978.

4. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А.П. Юшкевича. М., 1976.

5. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А.П.  Юшкевича. М., 1977.

 

Полный текст брошюры см. https://math.msu.ru/sites/default/files/kandidatskiy_minimum_po_istorii_matematiki.pdf