Механико-математический факультет

Научно-исследовательский семинар механико-математического факультета «Современные проблемы математики и механики»

Заседание 26 сентября (пятница) 2014 года, аудитория 1624, начало в 14.00

Новые методы численного решения уравнений мелкой воды

А.М. Курганов
(Tulane University, USA)

В первой части доклада будут описаны общие принципы применения методов конечных объемов для гиперболических систем законов сохранения. Особое внимание будет уделено решению задачи Римана при помощи неосцилирующих центральных схем и, в частности, так называемых центрально-противопоточных (central-upwind) схем [5, 7, 10]. Они принадлежат к классу центральных, но имеют некоторые черты противопоточных, что позволяет уменьшить численную вязкость, как правило, присутствующую в центральных схемах, таких, как схема первого порядка Лакса-Фридрихса, схема второго порядка Нессияху-Тэдмора и их обобщениях более высокого порядка.

Во второй части доклада будут обсуждаться применение центрально-противопоточных схем к таким гиперболическим системам, как система Сан-Венана и соответствующие модели мелкой воды [1,4, 6, 8, 9]. Основной трудностью здесь является сохранение тонкого баланса между функциями потока и источниками. Это особенно важно в таких ситуациях, когда вычисляемое решение является относительно малым возмущением стационарного состояния. Другой ключевой момент - сохранение положительности величины, отвечающей глубине воды (и/или других величин, которые предполагаются неотрицательными). Будет представлен общий подход к разработке сбалансированных сохраняющих положительность центрально-противопоточных схем и проиллюстрирована их эффективность на некоторых моделях мелкой воды.

[1] A. Chertock, S. Cui, A. Kurganov and T. Wu, Well-balanced positivity preserving central-upwind scheme for the shallow water system with friction terms, preprint.

[2] A. Chertock, M. Dudzinski, A. Kurganov and M. Luk a cov a-Medvi dov a, Well-balanced schemes for the shallow water equations with Coriolis forces, preprint.

[3] A. Chertock, A. Kurganov and Y. Liu, Central-upwind schemes for the system of shallow water equations with horizontal temperature gradients, Numerische Mathematik, in press.

[4] A. Kurganov and D. Levy, Central-upwind schemes for the Saint-Venant system, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 36 (2002), pp. 397-425.

[5] A. Kurganov and C.-T. Lin, On the reduction of numerical dissipation in central-upwind schemes, Communications in Computational Physics, 2 (2007), pp. 141-163.

[6] A. Kurganov and J. Miller, Central-upwind scheme for Savage-Hutter type model of submarine landslides and generated tsunami waves, Computational Methods in Applied Mathematics, in press.

[7] A. Kurganov, S. Noelle and G. Petrova, Semi-discrete central-upwind schemes for hyperbolic conservation laws and Hamilton-Jacobi equations, SIAM Journal on Scientic Computing, 23 (2001), pp. 707-740.

[8] A. Kurganov and G. Petrova, A second-order well-balanced positivity preserving central-upwind scheme for the Saint-Venant system, Communications in Mathematical Sciences, 5 (2007), pp. 133-160.

[9] A. Kurganov and G. Petrova, Central-upwind schemes for two-layer shallow water equations, SIAM Journal on Scientic Computing, 31 (2009), pp. 1742-1773.

[10] A. Kurganov and E. Tadmor, New high resolution central schemes for nonlinear conservation laws and convection-diusion equations, Journal of Computational Physics, 160 (2000), pp. 241-282.