Механико-математический факультет

Цель данного спецкурса - дать элементарное введение в теорию интегрируемых систем --- науку, находящуюся на стыке различных математических дисциплин и активно развивавшуюся в последней трети двадцатого века.

Примерный план курса.

Лагранжев формализм: элементы вариационного исчисления, уравнения Эйлера-Лагранжа, лагранжев подход в ньютоновой механике, вариационная природа геодезических, теорема Нетер, обобщенная вариационая задача с высшими производными.

Гамильтонов формализм: уравнения Гамильтона, гамильтоновость лагранжевых систем, скобка Пуассона и первые интегралы.

Интегрируемость по Лиувиллю: Теорема Лиувилля, переменные "действие-угол''.

Классические примеры: задача Кеплера, волчок Эйлера, волчок Лагранжа, геодезические на трехосном эллипсоиде.

Представление Лакса: нахождение первых интегралов, спектральный параметр.

Цепочка Тоды: представление Лакса, интегрируемость по Лиувиллю, метод обратной задачи, связь с QR-алгоритмом.

Одевающая цепочка Веселова-Шабата: преобразования Дарбу, представление Лакса, интегрируемость по Лиувиллю, связь с уравнениями Пенлеве.

Бигамильтоновы системы: схема Ленарда-Магри.

Пуассоновы многообразия: связь с симплектической структурой, теорема Дарбу, симплектические листы, функции Казимира.

Интегрируемые дискретные уравнения на квад-графах: трехмерная совместность, представление нулевой кривизны, формулировка классификационной теоремы Адлера-Бобенко-Суриса, постановка задачи Коши.

Двумеризованная цепочка Тоды: преобразования Дарбу-Лапласа, инварианты Лапласа, уравнение Лиувилля, x-интегралы и y-интегралы, представление Лакса, интегрируемость по Дарбу.

Второй семестр будет посвящен двумерным интегрируемым системам типа уравнения Кортевега-де Фриза. Планируется обсудить следующие сюжеты: представление Лакса для уравнения КдФ, иерархия КдФ, теория рассеяния для одномерного оператора Шредингера с быстро убывающим потенциалом и интегрирование КдФ, многосолитонные решения КдФ, преобразования Бэклунда, преобразование Миуры, скобка Гарднера-Захарова-Фаддеева, бигамильтоновость; асимптотические линиии на поверхностях постоянной отрицательной кривизны и уравнение sin-Гордон.

Спецкурс рассчитан на студентов 3-го курса. Никаких дополнительных знаний, кроме материала обязательных курсов первых двух лет мехматской программы не потребуется.

Понедельник, 16:45-18:20, ГЗ, ауд. 16-13