Заседание Московского математического общества 5 апреля 2016 г.

(начало в 18 час. 30 мин., ауд. 16-10 Главного здания МГУ)

С.К.Нечаев

Неархимедова геометрия спектральной статистики разреженных матриц и случайных операторов шредингеровского типа

Рассмотрим ансамбль случайных симметричных матриц размера NxN (N>>1), элементы которых могут принимать значения 1 с вероятностью q и 0 с вероятностью 1-q. Наc интересует спектральная статистика такого ансамбля в точке перколяции, q=1/N. Можно показать, что в этой точке примерно 95% всех возможных подграфов - линейные цепочки с экспоненциальным распределением по длинам, т.е. операторов, задаваемых двухдиагональными матрицами. Распределение плотности собственных значений таких операторов имеет простую теоретико-числовую неархимедову структуру. Анализ хвостов спектральной плотности позволяет высказать гипотезу о том, что в определенном пределе спектральная плотность может быть выражена в терминах модулярных функций (а именно, эта-функции Дедекинда). Предполагается также обсудить связь данной задачи с рядом физических проблем: филлотаксисом, определением оптимальной формой листов растений.

Категория: 
Наука