Заседание Московского математического общества 29 марта 2016 г.

(начало в 18 час. 30 мин., ауд. 16-10 Главного здания МГУ)

М.В.Прасолов (победитель конкурса "Молодая математика России" в 2015 г.)

Прямоугольные диаграммы и выпуклые поверхности в смысле Жиру.  

Прямоугольные диаграммы можно рассматривать как специальный класс плоских диаграмм зацеплений. Каждое зацепление представимо прямоугольной диаграммой, и верен аналог теоремы Райдемайстера о связи двух прямоугольных диаграмм эквивалентных зацеплений с помощью набора элементарных движений.

На прямоугольных диаграммах естественно вводится функция сложности, для которой, как показал И.Дынников в 2006 г., тривиальный узел распознается с помощью монотонного упрощения. Это значит, что любая прямоугольная диаграмма тривиального узла может быть приведена к самой простой лишь элементарными движениями, не увеличивающими сложность.

Прямоугольными диаграммами очень удобно также представлять лежандровы зацепления, то есть касающиеся распределения плоскостей $\ker(dz+x\,dy)$ в $\mathbb R^3$. Как показано в недавней совместной работе И.Дынникова и докладчика, распространение процедуры монотонного упрощения на произвольные зацепления тесно связано с классификацией лежандровых зацеплений данного топологического типа.

Один из основных инструментов маломерной контактной топологии и, в частности, теории лежандровых узлов --- это выпуклые поверхности в смысле Жиру. Как замечено И.Дынниковым и докладчиком, для описания выпуклых поверхностей в $\mathbb R^3$ также походит <<прямоугольный>> язык. С помощью аналога прямоугольных диаграмм для поверхностей мы надеемся научиться различать лежандровы узлы, которые не удается пока различить никакими алгебраическими инвариантами.

Категория: 
Наука