Механико-математический факультет

Годовой спецкурс для студентов младших курсов, а также всех, интересующихся современной геометрией и топологией.

Метрическая геометрия обобщает понятия и результаты дифференциальной геометрии на случай произвольных метрических пространств. Это позволяет по-новому взглянуть на некоторые классические результаты в силу того, что в этом случае дифференциальное исчисление отсутствует и не затеняет метрическую природу изучаемых объектов. С другой стороны, расширение класса рассматриваемых пространств позволяет делать нетривиальные предельные переходы и получать новые результаты, исходя из свойств предельных объектов. Одним из ярких примеров является предложенный Громовым предельный переход от групп полиномиального роста к группам изометрий многообразий. Другая серия примеров вытекает из понимания того, что выпуклые многогранники всюду плотны в пространстве всех выпуклых подмножеств евклидова пространства: это позволяет переносить по непрерывности многие свойства многогранников на эти подмножества.

В нашем курсе мы будем рассказывать о фундаментальных понятиях и теоремах метрической геометрии. В частности, мы поговорим о геометрии метрики Хаусдорфа, естественно возникающей на семействах подмножеств метрического пространства; обсудим геометрию гиперпространства — семейства всех компактных метрических пространств с метрикой Громова–Хаусдорфа; расскажем о применении предыдущих идей в теории гиперболических групп в смысле Громова. Для иллюстрации того, как работают методы метрической геометрии, мы рассмотрим ее применение в геометрической теории графов, в частности, поговорим о ряде обобщений классических оптимизационных задач, где одномерные экстремали допускают ветвления и, потому, естественно моделируются графами.