Механико-математический факультет

Межкафедральный семинар имени А.Н.Колмогорова для студентов 1-2 курса  работает по вторникам в 18:30 ОНЛАЙН. 

Ссылку на зум можно получить по запросу на адрес  vladimir.bogachev@math.msu.ru

Занятия семинара проводятся представителями разных кафедр и областей математики с целью
ориентации младшекурсников,  раздумывающих о выборе своей области исследований;  они независимы друг от друга.

Предварительных знаний,  выходящих за рамки программы второго  курса, не требуется.

Очередное заседание:  19 апреля
 
Профессор  Протасов В.Ю. 
 
Регулярные замощения плоскости и ортогональные базисы функций.

Фигуры, называемые тайлами, давно привлекают внимание специалистов в разных областях: комбинаторике, теории чисел, функциональном анализе, алгебре и т.д.  Тайл обладает двумя главными свойствами:1) самоподобие: тайл можно без наложений замостить параллельными сдвигами одной фигуры, подобной ему самому; 2) целые сдвиги тайла образуют замощение пространства. Как правило, тайлы имеют фрактальные свойства и довольно сложную структуру, хотя среди них попадаются и простые фигуры, например прямоугольники.

Нас будут интересовать приложения тайлов к теории функций и теории приближений. Во многих задачах удобно заменить функцию на последовательность её координат в некотором базисе. Лучше для этих целей использовать ортонормированный базис, поскольку в нем проще вычислять коэффициенты разложения. Самый популярный –  тригонометрический (базис Фурье) – имеет, тем не менее, ряд  недостатков.  Поэтому иногда  используются другие базисы, например базис Хаара. Его функции принимают всего три значения: 0, 1 и -1,  носитель каждой из них – отрезок. Если мы имеем дело с функциями нескольких переменных, то нужен многомерный базис. Для системы Фурье он строится легко: прямым произведением одномерных базисных функций. То же можно сделать и с системой Хаара, при этом вместо отрезков возникнут прямоугольники (прямые произведения отрезков).  Но этот способ  оказывается неэффективным, поскольку теряются  многие преимущества базиса Хаара.

Оказывается, что гораздо лучше строить многомерные системы Хаара не на прямоугольниках, а на тайлах. Как ни странно, эти замысловатые фигуры с рваными краями и дробной размерностью можно использовать для приближения гладких функций и для построения новых базисных систем. Как это получается и почему именно их надо использовать — мы разберемся.  Кроме того, мы докажем ряд фундаментальных свойств тайлов, рассмотрим
трудную задачу классификации тайлов, построим примеры и сформулируем ряд открытых проблем.