Механико-математический факультет

Межкафедральный семинар имени А.Н.Колмогорова для студентов 1-2 курса  работает по вторникам в 18:30 ОНЛАЙН. 

Ссылку на зум можно получить по запросу на адрес  vladimir.bogachev@math.msu.ru

Занятия семинара проводятся представителями разных кафедр и областей математики с целью
ориентации младшекурсников,  раздумывающих о выборе своей области исследований;  они независимы друг от друга.

Предварительных знаний,  выходящих за рамки программы второго  курса, не требуется.

Очередное заседание:  29 марта 
 
Т.Е. Панов

Прямоугольные многогранники, гиперболические многообразия и  действия тора
 
Комбинаторный трехмерный многогранник P реализуется в трехмерном пространстве Лобачевского с прямыми двугранными  углами тогда и только тогда, когда он простой, флаговый и не имеет 4-поясов граней. Этот критерий был доказан в работах А. Погорелова и Е. Андреева 1960-х.  

Мы называем комбинаторные 3-многогранники, допускающие прямоугольную реализацию в трехмерном пространстве Лобачевского, многогранниками Погорелова. Класс Погорелова содержит все фуллерены, т.е.  простые 3-многогранники, имеющие лишь 5-угольные и 6-угольные грани.
 
Группа, порожденная отражениями в гранях прямоугольного многогранника, называется прямоугольной группой  Коксетера. Есть два семейства гладких многообразий, связанных с многогранниками Погорелова. Первое семейство состоит из 3-мерных малых накрытий (в смысле М. Дэвиса и Т. Янушкевича) многогранников Погорелова  P, также известных как гиперболические 3-многообразия типа Лёбелля. Это асферические 3-многообразия, фундаментальные группы которых являются некоторыми расширениями абелевых 2-групп с помощью прямоугольных  групп Коксетера. Первое такое многообразие было построено Лёбеллем в 1931 году и дало первый пример компактного  3-мерного гиперболического многообразия. Второе семейство состоит из 6-мерных квазиторических многообразий над многогранниками Погорелова. Это односвязные 6-многообразия с трехмерным действием тора и пространством орбит P. 

Оказывается, что оба семейства обладают замечательным свойством когомологической жесткости, т.е. два многообразия М и М' из любого семейства диффеоморфны тогда и только тогда, когда кольца их когомологий изоморфны. Это, в частности, влечет полную классификацию гиперболических многообразий Лёбелля.
 
Доказательства используют современные методы торической топологии и результаты из классических разделов  геометрии и топологии - комбинаторика 3-многогранников, теорема о четырех красках, асферические многообразия, классификация диффеоморфизмов 6-многообразий и инвариантность классов Понтрягина.