Механико-математический факультет

Полугодовой спецкурс  «Качественная теория эллиптических уравнений с частными производными»  

С. В. Шапошников

Эллиптические уравнения с частными производными являются красивым и востребованным разделом математики. Методы и результаты теории эллиптических уравнений используются в математической физике, дифференциальной геометрии, теории вероятностей, оптимальном управлении, теории усреднения. Особый интерес представляют уравнения с негладкими и вырожденными коэффициентами, появляющиеся в теории диффузионных процессов и в нелинейном анализе. В настоящем курсе мы уделяем особое внимание не теории существования и единственности решений, а описанию качественных свойств решений, включающих в себя разнообразные формы принципа максимума, неравенство Харнака, теоремы Лиувилля, оценки модуля непрерывности и оценки производных. Кроме того, будет сделано необходимое введение в теорию пространств Соболева и рассказано о вероятностных представлениях решений эллиптических уравнений.

Примерная программа курса:  

1. Принцип максимума, теорема о среднем, неравенство Харнака для оператора Лапласа.

2. Винеровский процесс. Вероятностное представление решения уравнения Пуассона.

3. Вид линейного оператора, удовлетворяющего принципу максимума.

4. Эллиптические операторы в пространствах Соболева.                                                         

5. Априорные оценки и метод продолжения по параметру.

6. Слабые решения. Альтернатива Фредгольма. Принцип максимума Н.Трудингера.

7. Метод итераций Ю.Мозера. Неравенство Харнака и непрерывность слабых решений.

8. Сильные решения. Принцип максимума А.Д.Александрова. Функция Грина.

9. Дважды дивергентные эллиптические уравнения на мерах.  

Приглашаются студенты 3 - 6 курсов, аспиранты.    

Занятия будут проходить по четвергам с 19.00 до 20.30 в zoom.

Для получения ссылки надо написать на электронную почту questmatanATmail.ru

Первое занятие пройдет 18 февраля 2021 г.