Механико-математический факультет

Дисциплина "История и методология математики и механики" для студентов 4 курса отделения математики, студентов 5 курса экономического направления  и дисциплина "История и методология математики" для магистрантов отделения математики

Список вопросов к зачету по дисциплине 

Список классических математических сочинений для реферирования

Список литературы по дисциплине

Дисциплина "История и методология математики и механики" для студентов 5 курса отделения механики и дисциплина "История и методология механики" для магистрантов отделения механики

Список вопросов к зачету по дисциплине

Список литературы по дисциплине

 

 

Курс по истории и методологии математики

                                                                     УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ                                                                                            для самостоятельной работы студентов с указанием необходимой литературы.

1. Введение.

                  Изучение курса истории и методологии математики следует начинать с чтения статьи А.Н. Колмогорова «Математика» в БСЭ, в которой дается периодизация истории математики и содержится краткая характеристика математики каждого периода. Эту статью полезно перечитать еще раз, когда весь материал уже пройден, для того, чтобы привести его в порядок.

                  Учебник К.А. Рыбникова «История математики», изданный в разные годы издательством МГУ (последнее издание вышло в 1994 г.), написан в соответствии с программой и является основным учебным пособием. Много полезного содержится в многотомном произведении коллектива отечественных математиков и историков науки «История математики с древнейших времен до Нового времени» (3 тома под редакцией А.П. Юшкевича) и «История математики XIX века» (3 тома под редакцией А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича).

                  При изучении истории математики совершенно необходимым является знакомство хотя бы с одним из классических произведений великих математиков (список изданий первоисточников будет приведен позже). Разбор подлинника играет такую же роль, как самостоятельное решение задач (но не простых примеров!) при изучении математического анализа или теории функций. Желательно, чтобы произведение было выбрано из той области математики, в которой студент специализируется.

                  Л и т е р а т у р а:

1. Колмогоров А.Н. Математика // БСЭ, 2-е изд. Т. 26. С. 464‒483. или
2. Колмогоров А.Н. Математика в её историческом развитии. Под ред. В.А. Успенского. М., Наука. 1991. С. 24‒91.                

2. Математика в догреческих цивилизациях.

                  Период накопления математических знаний начался со времени возникновения первых человеческих обществ. В это время сложились такие основные математические понятия как целое число и геометрическая фигура, началось освоение дробей, были созданы первые системы счисления, найдены точное и приближенное правила для определения простейших площадей и объемов. Математика носила, в основном, рецептурный характер и излагалась догматически без доказательств.

                  Особенности этого периода исследуются в курсе на примере знаний Древнего Египта и Вавилона. При изучении материала следует обратить внимание на более высокий уровень математики древнего Вавилона, особенно на возникновение позиционной системы нумерации и элементов алгебры. Наивысшим достижением вавилонян в математике следует считать открытие алгоритма решения квадратных уравнений и успехи в решении неопределенных уравнений ‒ так называемые «пифагоровы» и «вавилонские» тройки.

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 7‒32.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 1. М., Наука. 1970–1972. С. 9‒57.
3. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М. Физматгиз. 1959.
4. Очерки по истории математики. Под ред. Б.В. Гнеденко. М., Изд. Московского университета. 1997.

3. Математика древней Греции и эпохи эллинизма: возникновение математики как науки, создание первых математических теорий.

                  Этот период охватывает более тысячелетия: с VI в. до н.э. по V–VI вв. н.э. Именно в этот период математика возникает как теоретическая наука, основанная на системе доказательств, с помощью которых устанавливается истинность предположений и выясняются их связи и взаимозависимость. Такое изменение характера математики произошло в Древней Греции. Там были созданы первые математические теории, такие как система элементарной геометрии Евклида, служившая образцом построения дедуктивной системы для ученых в течение двух тысячелетий, элементы теории пределов (так называемый метод исчерпывания), которые были применены как к определению площадей и объемов, так и к нахождению экстремумов и касательных, учение о конических сечениях.

                  При изучении формирования греческой математики следует обратить внимание на открытие несоизмеримости, которое явилось поворотным пунктом в развитии греческой науки. Оно показало, что рациональных чисел недостаточно для построения метрической геометрии. Одним из следствий этого стало создание геометрической алгебры, в которой операции производились не над числами, а непосредственно над отрезками и прямоугольниками. Другим следствием было создание первой формы учения о вещественном числе ‒ общей теории отношений Евдокса, которая, по существу, совпадает с теорией сечений Дедекинда.

                  Итог развитию античной математики VI–IV вв. до н.э. был подведен в «Началах» Евклида (300 г. до н.э.), которые являются основным источником наших знаний о математике всего этого периода. Знание структуры «Начал» и особенностей их построения необходимы для каждого грамотного математика.

              Большое значение для дальнейшего развития математики имели инфинитезимальные методы античности. Следует хорошо разобраться в сущности метода «исчерпывания», содержащего элементы теории пределов, а также в тех новых идеях, которые были внесены Архимедом. Речь идет о применении верхних и нижних интегральных сумм к определению искомой величины как общего предела этих сумм, а также к употреблению их для нахождения касательной с помощью бесконечно малого дифференциального треугольника (в полярных координатах). Нахождение экстремумов Архимед умел сводить к задачам о касательных.

                  Огромное значение имело также создание теории конических сечений Аполлонием, особенно те аналитические и проективные методы, которые он при этом развил.

                  При изучении античной математики следует обратить внимание на изменение ее характера в первые века нашей эры, на усиливающуюся арифметизацию и алгебраизацию. Наиболее ярко это можно проследить на примере творчества Диофанта Александрийского (середина III в. н.э.). В его «Арифметике» впервые вводится алгебраическая символика для обозначения неизвестного и его степеней, сформулированы основные правила алгебры. Диофант оперировал с отрицательными числами, для которых аксиоматически определил правило знаков при умножении. Понятие числа здесь, по существу, расширяется до рационального числа. Основные проблемы, рассматриваемые Диофантом, относятся к неопределенному анализу (решение неопределенных уравнений в рациональных положительных числах).

                  В работах Менелая (I в. н.э.) и Птолемея (II в. н.э.) развивается сферическая геометрия и тригонометрия. Приближенные вычисления начинают рассматриваться в теоретических сочинениях. Именно в это время начинают создаваться те вычислительно-арифметические методы, которые впоследствии получили развитие в математике народов Азии и Европы в средние века и привели в XVI–XVII вв. к созданию на основе классической античной математики новых направлений в нашей науке (аналитическая геометрия, исчисление бесконечно малых).

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 33‒75.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 1. М., Наука. 1970–1972. С. 58‒153.
3. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М. Физматгиз. 1959.
4. Башмакова И.Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. Вып. XI. М., Физматгиз. 1958. С. 225‒438.

4. Закат античной науки и математика в Средние века.

                  Этот период охватывает большой временной интервал от начала новой эры до XVI века включительно. В формировании математики этого времени приняли участие многие народы Европы и Азии: сюда относятся математика Китая и Индии, народов Средней Азии и Ближнего Востока, математика Западной Европы в средние века и в эпоху Возрождения.

                  Несмотря на такой многонациональный состав ученых создаваемая ими математика имела ярко выраженные характерные особенности: основное внимание уделялось разработке арифметико-вычислительных алгоритмов, была создана десятичная позиционная система счисления, которая первоначально применялась только для обозначения целых чисел (Индия VII в.), а затем была распространена и на обозначения дробей и любых вещественных чисел (Джемшид Гияссэдин ал-Каши, XV в.). Алгебра строилась на основе арифметики, а к концу рассматриваемого периода было создано первое буквенное исчисление. Развивались приближенные методы решения уравнений, была построена система плоской и сферической тригонометрии, геометрия носила ярко выраженный вычислительный характер.

                  Единство путей развития математики в Китае, Индии, в странах арабского Востока и Европы было обусловлено сходными общественно-экономическими условиями развития этих стран. Это новое арифметико-вычислительное направление приводит к расширению понятия числа ‒ в область чисел включены иррациональности и отрицательные числа.

                  К XVI в. относятся первые большие успехи алгебры в Европе: в это время были решены в радикалах уравнения 3-й и 4-й степеней (Италия). С этим было связано введение мнимых  чисел (Бомбелли), которые первоначально рассматривались как удобные символы, с помощью которых можно получать результаты, выражаемые в «настоящих» (т.е. действительных) числах.

                  С успехами алгебры связано также развитие и совершенствование алгебраической символики. В самом конце XVI в. Виет, введя буквенные обозначения не только для операций и неизвестных величин, но и для произвольных постоянных (параметров), создает буквенное исчисление, современную форму которому в 1637 г. придал Декарт. Буквенное исчисление явилось важнейшим фактором развития современной математики. До этого в математике отсутствовала такая ее существенная часть, как формулы и буквенные алгоритмы. С этого момента начинается развитие теории алгебраических уравнений и делаются попытки создать исчисление бесконечно малых, которое мыслится как алгебра бесконечного.

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 76‒103.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 1. М., Наука. 1970–1972. С. 154‒326.
3. Юшкевич А.П. История математики в средние века. М. Физматгиз. 1960.                 
4. Очерки по истории математики. Под ред. Б.В. Гнеденко. М., Изд. Московского университета. 1997.

5. Математика Нового времени.

                  В XVII в. большие успехи делает механика земных и небесных тел: в самом начале века Кеплер открывает законы движения планет; в 30-х годах Галилей изучает законы свободного падения тел и движения тела, брошенного под углом к горизонту; он же формулирует закон инерции. Гюйгенс в 70-х годах исследует колебания маятника. Наконец, в 1687 г. выходят знаменитые «Математические начала натуральной философии» Ньютона. По единодушному мнению физиков, в истории естествознания не было более крупного события, чем появление «Начал» Ньютона. Положив в основу три аксиомы движения, известные теперь как законы Ньютона, и закон всемирного тяготения, Ньютон чисто математически вывел из них все основные, известные в то время, факты механики земных и небесных тел: законы движения точки и твердого тела, кеплеровы законы движения планет, закон движения Луны, явления приливов и отливов и т.д. Он впервые сумел охватить с единой точки зрения весь механизм мировых явлений, построить систему мира. Такие успехи естествознания были бы невозможны без соответствующего развития математических методов.

                  До XVII в. в математике не было аппарата для изучения зависимостей одних величин от других, для выражения скоростей, ускорений, определения площадей криволинейных фигур, объемов, центров тяжести и т.д. Поиски такого аппарата ‒ характерная черта творчества крупнейших ученых того времени. Движение и диалектика входят в нашу науку и создается новая математика ‒ математика переменных величин. «Образом» переменной становится функциональная зависимость и с этих пор функция является таким же основным понятием, как число или величина. Обнаруживаются все предпосылки для создания дифференциального и интегрального исчисления.

                  Из всего богатства математики этого времени в курсе мы останавливаемся только на трех вопросах:

• развитие вычислительных методов и введение логарифмов;
• создание аналитической геометрии в трудах Декарта и Ферма;
• развитие методов бесконечно малых и создание дифференциального и интегрального исчисления.

                  При этом мы опускаем очень много интересных и важных для развития математики проблем (возникновение и развитие теории чисел в работах Ферма, исследования по проективной геометрии Дезарга и Паскаля, трактовка первых теоретико-вероятностных задач Паскалем, Ферма и Гюйгенсом и др.).

                  При подготовке второго и третьего вопросов следует иметь в виду большую роль, которую сыграло изучение античного наследия: трудов Аполлония для создания аналитической геометрии и трудов Евклида для создания исчисления бесконечно малых.

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 103‒113.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 2. М., Наука. 1970–1972. С. 7‒129.
3. Очерки по истории математики. Под ред. Б.В. Гнеденко. М., Изд. Московского университета. 1997.
4. Цейтен Г.Г. История математики в XVI и XVII веках. М.–Л. Гостехиздат. 1938. С. 191‒227.
5. Декарт Р. Геометрия. М.–Л., ГОНТИ. 1938.   

                Весьма сложным было развитие методов бесконечно малых. Как правильно замечает Н. Бурбаки в своих «Очерках по истории математики», эти методы явились коллективным творчеством многих ученых XVII в., а само их развитие «напоминает постепенное и неизбежное развертывание симфонии… Каждый выполняет отдельную роль в своем музыкальном тембре, но никто не является создателем той темы, которая почти безнадежно запутана введением сложного контрапункта». Относительно интеграционных методов можно рекомендовать одно из следующих направлений:

              а) «геометрическое», творцы которого не пользовались новой алгеброй и выражали свои результаты в виде теорем геометрии (Кеплер, Кавальери);

               б) «арифметическое» (Паскаль, Валлис);

            в) наиболее близкое к совершенным методам и наиболее ярко использующее понятие предела, выдающимся представителем которого был П. Ферма.

                  В развитии методов определения касательных и экстремумов можно выбрать один из двух: дифференциальный метод Ферма или алгебраический метод Декарта.

                  Последний этап исследований был ознаменован установлением связи и взаимообратности задач, решаемых при помощи дифференциальных и интегральных методов (или, как говорили в то время, задач на квадратуры и касательные). На существование этой связи указывали многочисленные задачи, обратные задачам на касательные, которые состояли в определении кривых, исходя из общего свойства касательных к ним. Общий результат о взаимнообратной зависимости между задачами на квадратуры и касательные был сформулирован в 1669 г. английским математиком И. Барроу, который дал своей теореме два доказательства ‒ кинематическое и геометрическое (по методу древних). Рекомендуется ознакомить студентов с одним из этих доказательств.

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 199‒218.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 2. М., Наука. 1970–1972. С. 130‒214.
3. Очерки по истории математики. Под ред. Б.В. Гнеденко. М., Изд. Московского университета. 1997.
4. Цейтен Г.Г. История математики в XVI и XVII веках. М.–Л. Гостехиздат. 1938. С. 242‒292, 307‒347.
5. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. Гл. IV. М.–Л., ОНТИ. 1935.

                  Развитие методов бесконечно малых завершается в 70-х годах XVII в. созданием дифференциального и интегрального исчисления. Оно было построено почти одновременно двумя великими математиками Исааком Ньютоном (1642‒1727) и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646‒1716), первым ‒ в виде исчисления флюксий, вторым ‒ в виде исчисления дифференциалов. В центре внимания обоих ученых стоят уже не отдельные задачи или классы задач, а сам алгоритм, правила которого разрабатываются, четко формулируются и затем уже прилагаются для решения задач. При этом класс задач, к которым может быть применен созданный алгоритм, оказался более широким, чем тот, из которого исходили его создатели.

                  При изучении работ И. Ньютона следует иметь в виду:

• именно здесь введен и систематически применяется новый мощный аналитический аппарат ‒ аппарат степенных рядов;
• Ньютон свел все многообразие задач, решаемых методами бесконечно малых, к двум основным: первой (прямой) задачей исчисления он считал нахождение отношения между флюксиями по заданному соотношению между флюэнтами (т.е. задачу нахождения производной неявной функции), а второй (обратной) ‒ задачу нахождения соотношения между флюэнтами, если задано соотношение между флюксиями (т.е. задачу интегрирования любого дифференциального уравнения).

              Для решения первой задачи Ньютон привел единообразное правило, для решения второй предложил метод степенных рядов.

                  Г.В. Лейбниц столько же известен в истории философии, как и в истории математики. К математике он подходил с общих философских позиций. Его цель состояла в том, чтобы создать универсальный метод научного познания ‒ всеобщую характеристику, которая давала бы возможность заменять логические умозаключения алгебраическими выкладками (первые идеи алгебры логики), создать «алгебру бесконечного», т.е. математический анализ и, вообще, «анализ идей». При этом он придавал огромное значение выбору символики, которая должна, по его мысли, коротко выражать и отображать самую сущность вещей. Наши символы дифференциала, дифференциалов высших порядков, интеграла, двойные индексы коэффициентов принадлежат Лейбницу.

               При изучении этого раздела курса надо иметь в виду, что ни Ньютон, ни Лейбниц не смогли дать обоснование новому исчислению. Их последователи широко пользовались отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка, но не смогли доказать законность своих действий. Ньютон сделал попытку положить в основу «метод первых и последних отношений», который являлся одной из ранних форм теории пределов, но так и не осуществил свой замысел. Долгое время оправданием нового исчисления являлись только те богатые результаты, которые оно приносило.                

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 218‒236.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 2. М., Наука. 1970–1972. С. 215‒287.
3. Очерки по истории математики. Под ред. Б.В. Гнеденко. М., Изд. Московского университета. 1997.
4. Цейтен Г.Г. История математики в XVI и XVII веках. М.–Л. Гостехиздат. 1938. С. 347‒372, 388‒422.

               В XVIII в. происходит развитие и совершенствование аппарата математического анализа. Характерной чертой этого периода является дальнейшее проникновение методов математики в механику и физику. Впервые создается аналитическая механика. В связи с этим внутри математического анализа начинается формирование таких разделов как обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, дифференциальная геометрия, элементы теории функций комплексного переменного, вариационное исчисление и др. Ведущая роль в создании этих направлений принадлежит великому математику XVIII в. Леонарду Эйлеру (1707–1783).

                  На изучении истории математики XVIII в. следует обратить особое внимание на следующие вопросы:

1. Развитие понятия функции. Учению о функциях посвящена книга Эйлера «Введение в анализ бесконечных». В ней функция определяется как аналитическое выражение, показывающее, какие операции и в какой последовательности надо произвести над постоянными и переменной, чтобы получить соответствующее значение функции. Областью определения функции считалась вся плоскость комплексного переменного. Эйлер полагал, что все заданные таким образом функции представимы степенным рядом, т.е. в современной терминологии ‒ аналитические. Сам Эйлер такие функции называл непрерывными. Этот термин для него имел не тот смысл, который вкладывается в него сегодня. В общем же случае связная, проведенная «свободным движением руки», сплошная кривая являлась в глазах Эйлера «разрывной», т.к. по его предположению ход такой кривой не может управляться единым аналитическим законом. Но именно эти «разрывные» функции, по мнению Эйлера, были необходимы в задачах математической физики и, в частности, в задаче о колебании струны, против чего категорически возражал Даламбер. Решение задачи о колебании струны поставило перед математиками два основных вопроса: 1) о природе функций, входящих в решение уравнения колебания струны, и 2) об условиях представимости функций тригонометрическими рядами. Оба этих вопроса получили свое окончательное решение только в XIX в.

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 237‒251.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 3. М., Наука. 1970–1972. С. 7–38, 241‒255, 409‒419.
3. Очерки по истории математики. Под ред. Б.В. Гнеденко. М., Изд. Московского университета. 1997.
4.  Юшкевич А.П. Математика. // История естествознания в России. Т. 1., ч. 1. М. Изд-во АН СССР. 1957. С. 224‒236, 256‒261.

2. Трактовка основных понятий математического анализа (бесконечно малая и бесконечно большая величины, производная, дифференциал, интеграл и т.п.) в работах Эйлера, Даламбера, Лагранжа и других математиков XVIII в.    

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 251‒261.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т.3. М., Наука. 1970–1972. С. 256‒365.
3.  Очерки по истории математики. Под ред. Б.В. Гнеденко. М., Изд. Московского университета. 1997.
4. Юшкевич А.П. Математика. // История естествознания в России. Т. 1., ч. 1. М. Изд-во АН СССР. 1957. С. 239‒244.

3. Развитие аппарата математического анализа. Создание вариационного исчисления. В этот период была создана вся классическая техника интегрирования (метод интегрирования по частям, подстановки, интегрирование рациональных дробей, метод интегрирования и дифференцирования по параметру для определенных интегралов и т.д.), а также разработаны методы решения важнейших классов дифференциальных уравнений.

          Вариационное исчисление представляло уже по существу отдельную область. В его истории на протяжении XVII–XVIII вв. можно выделить три периода: 1) решение отдельных вариационных задач (изопериметрических, о брахистохроне, геодезических и некоторых других) и первые методы решения вариационных задач; 2) введение Эйлером аналитического выражения для функционала и создание им прямых методов вариационного исчисления; 3) введение Лагранжем исчисления вариаций и разработка этого исчисления Эйлером и Лагранжем. Как и анализ бесконечно малых, вариационное исчисление не получило в XVIII в. строгого обоснования.

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 261‒299.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 3. М., Наука. 1970–1972. С. 344‒369, 452‒471.
3. Очерки по истории математики. Под ред. Б.В. Гнеденко. М., Изд. Московского университета. 1997.
4. Юшкевич А.П. Математика. // История естествознания в России. Т. 1., ч. 1. М. Изд-во АН СССР. 1957. С. 230‒250.
5. Юшкевич А.П. Исторический очерк // Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.  М., ГТТИ. 1952. С. 428‒458.

4. Элементы теории функций комплексного переменного. В XVIII в. учение о функциях строилось сразу для любых комплексных значений аргумента. Исследовались элементарные функции ‒ показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические. Эйлер нашел представления для всех этих функций с помощью степенных рядов. Он открыл зависимость exp (iz) = cos z + i sin z, которая послужила ему основой для вывода утверждения о бесконечном множестве значений логарифмической функции.

           Эйлером, Даламбером и Лагранжем были открыты и другие важные факты общей теории аналитических функций. Так, они знали, что аналитические функции (т.е. по определению того времени задаваемые одним аналитическим выражением) представимы степенными рядами и задают конформные отображения, а их действительная и мнимая части удовлетворяют соотношениям, которые сегодня называются условиями Эйлера‒Даламбера (иногда ‒ условиями Коши‒Римана) аналитичности функции.

               В это же время для вычисления определенных интегралов начинают применять комплексные подстановки. Все эти исследования в XIX в. послужили базой для построения систематической теории аналитических функций.

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 238‒267.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 3. М., Наука. 1970–1972. С. 323‒331, 365‒369.
3. Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.–Л., ГТТИ. 1951.

5. Эволюция алгебры. Выделение понятия группы. (См. в разделе VI об алгебре XVIII – XIX вв.)
6. Геометрия в XVIII в. Основное внимание в это время уделяется приложениям к геометрии анализа бесконечно малых. Таким образом возникает дифференциальная геометрия. Начинается систематическое изучение пространственных кривых и поверхностей.                 

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 117‒143.
2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 3. М., Наука. 1970–1972. С. 153‒221.
3. Стройк Д. Очерк истории дифференциальной геометрии до XX столетия. М.–Л., ГТТИ. 1941.

6. Математика XIX века.

           XIX век знаменует начало нового периода в развитии математики, который в периодизации А.Н. Колмогорова получил название периода современной математики. Наряду с невиданным до того времени количественным ростом математические исследования претерпели и глубокие качественные изменения.  Приведем некоторые характерные черты математики этого периода.

1. Происходит коренное преобразование трех основных отделов математики: алгебры, геометрии и математического анализа. Если до XIX в. алгебра, в основном, была наукой об алгебраических уравнениях, то теперь центральное место занимает изучение новых структур: групп, колец, полей. Одновременно развивается исчисление матриц, векторное исчисление, создается линейная алгебра.

              Геометрия в предшествующие периоды сводилась, в основном, к евклидовой геометрии двух или трех измерений. В XIX в. возникают неевклидовы геометрии, n-мерные геометрии, строится проективная геометрия, обнаруживается тесная связь геометрии с теорией групп и теорией инвариантов, с одной стороны, и с теорией функций ‒ с другой.

              Математический анализ впервые строится на основе арифметического определения понятия предела, обобщаются основные понятия ‒ интеграл, функция, сумма ряда. Новый подход к основным объектам анализа позволяет систематично развить теорию функций комплексного переменного.

              Наконец, глубокое изучение теории функций приводит к возникновению теории множеств, ставшей универсальным языком математики современной эпохи.

2. Математика, в целом, поднимается на более высокую ступень абстракции, что сопровождается усилением внимания к вопросам обоснования математики. Именно в это время впервые после Евклида получает развитие аксиоматический метод ‒ один из основных методов исследования современной математики. В конце XIX – начале XX вв. создается математическая логика.
3. До XIX в. математика была связана, главным образом, с астрономией и механикой, теперь математические методы проникают во все отделы физики: теорию теплоты, электричества, магнетизма, кинетическую теорию газов и т.д. В наши дни математика находит все больше и большее применение во всех естественных науках ‒ химии, биологии, психологии, экономике, лингвистике и др. Возникают непосредственные связи математики с техникой. Эта небывалая экспансия математических методов оказалась возможной благодаря глубокому преобразованию всей математики. Усиление значения науки в мире привело к изменению форм ее организации (открытие университетов с физико-математическими факультетами, организация академий и научно-исследовательских институтов, которые субсидируются государством, основание математических журналов, возникновение математических обществ и т.п.).

            Основной математический материал, входящий в курс истории математического анализа в XIX в., хорошо знаком студентам из программ обязательных курсов. В произведениях математиков этого времени математический анализ и приобрел ту форму, к которой нас приучают, начиная с первого курса. Особенно большую роль сыграли работы О. Коши, который впервые построил анализ на основе арифметического определения понятия предела, Абеля (теоремы о степенных рядах внутри круга сходимости и на его границе, понятие равномерной сходимости ряда), Больцано (более глубокое проникновение в теорию функций и точечных множеств), Римана (первое обобщение понятия интеграла), Вейерштрасса (аппарата ε и δ, оперирование со строгими неравенствами).

          Мы уже говорили о споре вокруг понятия функции, вызванном изучением задачи о колебании струны, и о постепенном расширении этого понятия. Новое определение понятия функции как произвольно заданного соответствия между двумя множествами (вовсе необязательно заданного аналитическим выражением) впервые было высказано Н.И. Лобачевским в 1834 г.  П. Лежен-Дирихле, с именем которого долгое время связывалось общее определение понятия функции, сформулировал его в печати в 1837 г.

            В той же статье Н.И. Лобачевский провел различие между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Первый пример непрерывной и нигде не дифференцируемой функции был опубликован Вейерштрассом много позднее ‒ в 1872 г. Однако в XX в. стало известно, что в рукописях Больцано (начало 30-х гг. XIX в.) был уже построен пример непрерывной и нигде не дифференцируемой функции.

             К 70-м годам относится построение теории действительных чисел Дедекиндом, Кантором и Вейерштрассом, что и завершило арифметизацию классического математического анализа.

            Примерно к этому же времени относится создание Кантором теории множеств, которая в XX столетии сделалась универсальным языком математики. И сам Кантор, и математики французской школы Жордан, Борель и Лебег один за другим предлагают способы введения меры множества. Эти способы, их достоинства и недостатки хорошо описаны в книге Н. Бурбаки.

            Наряду с эволюцией основных понятий математического анализа развивается и его аналитический аппарат, область приложений. Особое внимание следует обратить на развитие теории тригонометрических рядов, которая сыграла решающую роль в создании современной теории функций.

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 300‒336.
2. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М., Наука, 1981.
3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М. ИЛ, 1963.
4. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М. Наука. 1989.
5. Кольман Э. Бернард Больцано. М.–Л. Изд-во АН СССР. 1955.

            Перестройка математического анализа сразу же оказала воздействие на развитие теории функций комплексного переменного. Решающую роль тут сыграли геометрическая интерпретация комплексного переменного Гаусса и введение Коши понятия определенного интеграла как предела интегральных сумм, позволившие распространить его на область комплексного переменного. К 40-м годам были заложены основы теории аналитических функций одного комплексного переменного (Гаусс, Коши, Абель). После этого на первый план выдвинулись вопросы, связанные с изучением многозначных функций комплексного переменного. Студенты должны быть знакомы с двумя путями решения этих вопросов: геометрической теорией функций Римана и теорией аналитического продолжения Вейерштрасса.

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 337‒362.
2. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М., Наука, 1981.
3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М. Наука. 1989.
4. Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.–Л., ГТТИ. 1951.

            В развитии алгебры можно выделить два основных направления исследований, в процессе которых формировались понятия группы и поля: это ‒ исследования Эйлера, Лагранжа и Гаусса, относящиеся к основной теореме алгебры, и изыскания по общей теории алгебраических уравнений, связанные с попытками решения уравнений степени выше четвертой в радикалах. В ходе последних изысканий на первый план вышло понятие группы и были установлены первые важные теоремы теории групп (теорема Лагранжа о порядках конечной группы и ее подгрупп, теорема о возможности представления коммутативной группы в виде прямого произведения циклических, содержащаяся уже в работах Гаусса по теории уравнения деления круга и др.).

            При подготовке этой части курса надо обратить внимание:

а) на первое доказательство неразрешимости в математике ‒ неразрешимости в радикалах уравнений выше четвертой степени с произвольными буквенными коэффициентами (доказательства Руффини и Абеля);

б) на поиски отдельных классов уравнений, разрешимых в радикалах (Лагранж, Гаусс, Абель);

в) необходимо иметь представление о постановке задачи, которую решал Галуа, об основных идеях и методах его теории.

         Разумеется, курс истории математики не может служить пособием по теории групп и теории Галуа, поэтому для усвоения курса студент может познакомиться с основами обеих теорий по одной из рекомендованных книг. Необходимо также знать дальнейшую историю теории групп и иметь представление о ее применениях в геометрии, теории функций и физике.

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 162‒189.
2. Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. Под ред. А.Н.       Колмогорова и А.П. Юшкевича. М., Наука, 1978.
3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., ИЛ. 1963.
4. Очерки по истории математики. Под ред. Б.В. Гнеденко. М., Изд. Московского университета. 1997.
5. Чеботарев Н.Г. Теория Галуа. М.–Л., ГИТТЛ. 1936.
6. Постников М.М. Теория Галуа. М. Физматгиз, 1963.
7. Башмакова И.Г. О доказательстве основной теоремы алгебры. // Историко-математические исследования. Вып. X. М., Гостехиздат. 1957.

             Чтобы понять те глубокие изменения, которые были вызваны появлением неевклидовых геометрий, студент должен знать основные положения геометрии Лобачевского и идеи построения римановых геометрий. После этого подготовку материала проводить по следующему плану:

а) постулат о параллельных Евклида и попытки его доказательства;

б) основы геометрии Лобачевского;

в) вопрос о доказательстве непротиворечивости геометрии Лобачевского; интерпретация Бельтрами. Интерпретация Кэли‒Клейна и Пуанкаре (достаточно быть знакомым с одной из них). Студент должен ясно представлять, почему (и в каком смысле) интерпретация доказывает непротиворечивость геометрии Лобачевского, обратить внимание на то, какие преобразования играют роль движений, как определяется метрика.

г) дальнейшее развитие геометрии: классификация геометрий с помощью группы движений (Эрлангенская программа Клейна);

д) идеи Римана: метод построения метрических геометрий. Значение неевклидовых геометрий для современной физики;

е) неевклидовы геометрии и аксиоматический метод. Значение этого метода в современной математике.      

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 143‒160.
2. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М., Наука, 1981.
3. Александров П.С. Что такое неевклидова геометрия. М., 1950.
4. Каган В.Ф. Лобачевский. М.–Л., Изд-во АН СССР. 1948.
5. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М. Наука. 1989.
6. Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. М., 1953.     

7. Математика в России и в СССР.

          До XVIII в. говорить о высоких достижениях русских ученых в математике не приходится. Самым древним сочинением, о котором здесь следует упомянуть, является учение новгородского монаха Кирика, написанное в 1134 г. и посвященное арифметико-хронологическим расчетам. По-видимому, Кирик умел рассчитывать дни Пасхи, а в 1492 г. на Руси уже не осталось никого, кто умел бы это делать, и пришлось снаряжать экспедицию в Рим за пасхалиями. К следующему, более высокому этапу развития математической культуры Россия подошла в эпоху Петра I и этот этап тесно связан с организацией первого научного центра страны ‒ Академии наук в Санкт-Петербурге в 1725 г., а также с организацией в 1755 г. Московского университета.

             Деятельность первой российской Академии наук в XVIII в. тесно связана с именем Л. Эйлера, после смерти которого значение академии как европейского математического центра на какое-то время было потеряно. Новый подъем начался в 20-е годы XIX в. и был связан с именами М.В. Остроградского и В.Я Буняковского.

             Начало XIX в. было ознаменовано открытием целого ряда университетов, в которых в соответствии с новым Уставом обязан был быть физико-математический факультет и кафедры чистой и прикладной математики. К середине XIX в. университеты сделались центрами научной работы, а в ряде городов (в Киеве, Харькове, Казани и др.) ученые-математики стали создавать объединения на основе общей тематики, что, в свою очередь, привело к образованию научных школ. Мы в нашем курсе остановимся только на двух их них: Петербургской и Московской.

                Сначала ‒ краткая характеристика творчества М.В. Остроградского. После окончания Харьковского университета в 1820 г. он получил серьезную подготовку в Париже ‒ самом значительном в то время центре математической науки. Это обстоятельство определило идейное родство и связь работ петербургских математиков с ведущими идеями лучших европейских математиков. Так же, как и его современники (Фурье, Лаплас, Коши, Пуассон и др.), Остроградский обращал основное внимание на решение прикладных проблем. Большинство его работ относилось к области механики, математической физики и связанных с ними проблемами математического анализа и особенно вариационного исчисления. Он оставил также первоклассные работы по алгебре и теории вероятностей. Однако при изучении творчества М.В. Остроградского основное внимание должно быть обращено на его работы по математической физике, а также на связанные с ними работы в области теории интегрирования.

                Деятельность Остроградского и Буняковского оживила и подняла на новый уровень математические исследования в Академии наук и создала предпосылки для возникновения новой Петербургской математической школы. Однако непосредственным ее основателем явился П.Л. Чебышев, выпускник Московского университета, переехавший после его окончания в Петербург, научная и педагогическая деятельность которого оказывала исключительно мощное влияние на развитие русской математики. Умение поставить перед молодыми учеными богатую возможностями и увлекательную задачу ‒ редкий дар, без которого немыслимо создание научной школы. Непосредственными учениками Чебышева были А.Н. Коркин, Ю.В. Сохоцкий, Е.И. Золотарев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов и др. Научная деятельность этих ученых протекала под сильнейшим воздействием идей Чебышева. Многие из них непосредственно продолжали разработку его тематики и все они распространяли идеи Чебышева в университетах и других высших школах Петербурга, Казани, Киева, Харькова, Варшавы.

               Математические работы Чебышева и его учеников в основном проводились по трем главным направлениям:

• теория чисел (Чебышев, Золотарев, Марков);
• теория вероятностей (Чебышев, Ляпунов, Марков);
• теория наилучшего приближения функций (Чебышев, С.Н. Бернштейн).

       Кроме того, под влиянием работ Остроградского математиками Петербургской математической школы разрабатывалось четвертое направление: уравнения математической физики (Ляпунов, В.А. Стеклов). Таким образом, единство ученых Петербургской математической школы определялось, в первую очередь, близостью их тематики к тематике Чебышева, хотя со временем круг их интересов становится все шире.

                Подробная характеристика отдельных направлений деятельности Чебышева и его последователей приводится в работе А.П. Юшкевича (см. список литературы). От студента требуется общее знакомство с деятельностью Петербургской математической школы и более подробная характеристика одного из указанных направлений.

             Очень близко к работам петербургских математиков примыкают исследования С.В. Ковалевской, результаты которой по достоинству были оценены европейскими математиками и Чебышевым. Благодаря его поддержке Ковалевская была избрана членом-корреспондентом российской Академии наук.

             В отличие от Петербургской школы, где центром математических исследований являлась Академия наук, московские математики группировались вокруг университета. Первая половина XIX в. характеризуется повышением уровня преподавания и ростом квалификации профессоров и преподавателей. Московская математическая школа сложилась в 60-х годах. В 1864 г. было создано Московское математическое общество, инициатором создания которого и первым президентом стал профессор Московского университета Н.Д. Брашман. Основные интересы московских математиков лежали в области прикладной математики (Н.Е. Жуковский, С.А Чаплыгин), дифференциальной геометрии (К.М. Петерсон, Б.К. Млодзеевский, Д.Ф. Егоров), а с начала XX в. ‒ в области теории функций действительного переменного (Д.Ф. Егоров, Н.Н. Лузин и их ученики).

                  Л и т е р а т у р а

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 456‒488.
2. Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М., Наука. 1987.
3. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. М.–Л. Гостехиздат. 1946.
4. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. М., Наука, 1968.

               После образования СССР и переезда Академии наук из Петербурга в Москву советские математики стали работать вместе, образовав тем самым один из самых выдающихся научных коллективов XX в., который часто коротко называют советской математической школой, хотя на самом деле она состоит из огромного количества математических школ, работающих в различных направлениях. Богатство этих направлений исследований и обилие полученных результатов таковы, что до сих пор не существует не только истории математики этого периода, но даже полного ее обзора. Кроме того, математические работы этого времени, как правило, доступны только специалисту в данной области. Поэтому студент должен иметь лишь общее представление об основных математических школах нашей страны, о новых формах организации науки, а более подробно знать об успехах и проблемах в той области математики, в которой он специализируется.

                   Представление о развитии математики в Советском Союзе можно получить из следующих книг:

1. Рыбников К.А. История математики. Изд-во МГУ, 1994. С. 488–489.
2. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. М.–Л. Гостехиздат. 1946.
3. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. М., Наука, 1968.
4. «Математика в СССР за сорок лет. 1917‒1957». Т.1‒2. М. Физматгиз. 1959.
5. Александров П.С., Колмогоров А.Н. Роль русской науки в развитии мировой науки и культуры.  Т. 1, кн. 1. «Ученые записки МГУ», 1947. Вып. 91.    

Список вопросов к зачету

СПИСОК ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ

1. Предмет истории и методологии математики и методы, в ней применяемые. Общий взгляд на развитие математики с древности до середины XX в. Периодизация А.Н. Колмогорова.
2. Истоки математических знаний. Первоначальные представления о числе и фигурах. Системы счисления.
3. Древний Египет. Источники. Арифметические и геометрические знания.
4. Древний Вавилон. Источники. Арифметика и числовая «алгебра». Алгоритмический характер вавилонской математики. Геометрические знания. Теорема Пифагора.
5. Панорама развития математики в Древней Греции. Источники. Главные действующие лица. Рождение математики как теоретической науки. Пифагорейцы. Открытие несоизмеримости.
6. Геометрическая алгебра. Знаменитые задачи древности — удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга.
7. Апории Зенона — парадоксы бесконечности и движения.
8. Панорама развития математики в эпоху эллинизма. Аксиоматическое построение математики в «Началах» Евклида. Содержание «Начал».
9. Теория отношений Евдокса. Сравнение ее с теорией сечений Дедекинда.
10. Инфинитезимальные методы античности. Метод неделимых. Метод исчерпывания Евдокса.
11. Биография Архимеда. Метод интегральных сумм Архимеда. Дифференциальные методы Архимеда.
12. «Конические сечения» Аполлония. Вывод симптома параболы у Менехма и у Аполлония.
13. Математика первых веков Новой эры. Герон и Птолемей. Диофант Александрийский и его «Арифметика». Введение буквенной символики для неизвестного и его степеней. Первая запись алгебраических уравнений. Методы Диофанта.
14. Математика арабского Востока. Ал-Хорезми и его трактат об индийском счете. Выделение алгебры в самостоятельную науку. Рождение тригонометрии.
15. Математика в Европе в Средние века и эпоху Возрождения. Леонардо Пизанский и его «Книга об абаке».
16. Проблема решения алгебраических уравнений: расширение понятия числа, совершенствование символики, решение уравнений 3-й и 4-й степеней. «Алгебра» Рафаэля Бомбелли и введение комплексных чисел.
17. Франсуа Виет и создание буквенного исчисления. Начало общей теории алгебраических уравнений.
18. Математика и научно-техническая революция XVI-XVII вв. Новые формы организации науки — научные общества, академии, журналы.
19. Развитие вычислительных средств — открытие логарифмов. Рождение аналитической геометрии в работах П. Ферма и Р. Декарта.
20. Биография И. Ньютона. Метод флюксий и аппарат бесконечных рядов.
21. Биография Г.В. Лейбница. Исчисление Лейбница.
22. Развитие математического анализа в XVIII в. Биография Л. Эйлера. Математическая трилогия Эйлера.
23. Классификация функций по Эйлеру. Развитие понятия функции и спор о колебании струны и развитие понятия решения (классического и обобщенного) уравнения с частными производными в XVIII-начале XX вв.
24. Алгебра XVIII века. Проблема решения уравнений в радикалах. Рассмотрение группы подстановок корней Ж.Л. Лагранжем. Доказательство неразрешимости уравнений 5-й степени в радикалах у П. Руффини и Н.Г. Абеля.
25. Математика XIX века. Организация математической жизни. Ведущие математические школы. Математические журналы и общества.
26. Теория дифференциальных уравнений в XVIII-XIX вв. Развитие вариационного исчисления.
27. Реформа математического анализа. Построение теории действительного числа. Рождение теории множеств. Открытие парадоксов.
28. Математика XIX века. Теория функций комплексного переменного. Наследие XVIII в. Интерпретация комплексного числа. Теория О. Коши. Геометрическое направление Б. Римана. Теория аналитических функций К. Вейерштрасса.
29. Предыстория создания неевклидовой геометрии. Биография Н.И. Лобачевского. Основные положения геометрии Лобачевского. Первые интерпретации. Преобразование геометрии. Римановы геометрии. Классификация геометрических теорий — «Эрлангенская программа» Ф. Клейна.
30. Эволюция алгебры. Принципы решения алгебраических уравнений у Гаусса, Абеля и Галуа. Биография К.Ф. Гаусса. Его «Арифметические исследования» и решение уравнения деления круга. Вклад Абеля.
31. Создание теории Галуа. Введение понятий группы и поля. Определение абстрактной группы у Кэли. Развитие линейной алгебры — кватернионы и векторы.
32. Краткая справка о математических знаниях на Руси в допетровскую эпоху. Основание Петербургской Академии наук и Московского университета.
33. Реформы Александра I. М.В. Остроградский. Реформы Александра II. В.Я. Буняковский.
34. Биография П.Л. Чебышева. Петербургская математическая школа П.Л. Чебышева.
35. Основание Московского математического общества. Организация математической жизни в стране накануне Первой мировой войны. Математические центры и издания. Конфронтация Петербурга и Москвы.
36. Рождение Московской школы теории функций. Становление математического сообщества после Октябрьской революции. Рождение Советской математической школы.
37. Математика XX века. Д. Гильберт. А. Пуанкаре. Н. Бурбаки.

Список классических математических сочинений

К зачёту по курсу истории и методологии математики каждый обучающийся должен подготовить РЕФЕРАТ по одному из классических математических сочинений из следующего списка (обучающийся может готовить реферат и по классическому сочинению, не входящему в этот список, при условии предварительного согласования этого вопроса с лектором).

Многие из этих сочинений можно найти в открытом и бесплатном доступе по ссылкам http://pyrkov-professor.ru/Default.aspx?tabid=106 и http://pyrkov-professor.ru/Default.aspx?tabid=113

1. Архимед. Сочинения. М., Наука. 1962
2. Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. М., Наука. 1974.
3. Евклид. Начала. В 3 т. М.–Л., ГТТИ. 1948‒1960.
4.  Четыре сочинения о квадратуре круга: Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр. М.–Л.,  ГТТИ. 1936.
5. Мухаммед Насирэддин Туси. Трактат о полном четырехстороннике. Баку, Изд-во АН АзССР. 1952.
6. Аль-Хорезми Мухаммед. Математические трактаты. Ташкент. 1964.
7. Хайям О. Трактаты. М., Изд-во АН СССР. 1961.
8. Аль-Каши Д.Г. Математические трактаты. М., ГТТИ. 1956.
9. Бернулли Я. О законе больших чисел. М., Наука. 1986.
10. Кавальери Б. Геометрия неделимых. М.– Л.,ГТТИ. 1940.
11. Кантор Г. Труды по теории множеств. М., Наука. 1985.
12. Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек. М.– Л., ГТТИ. 1935.
13. Декарт Р. Геометрия. М.–Л., ГОНТИ. 1938.
14. Егоров Д.Ф. Работы по дифференциальной геометрии. М., Наука. 1970.
15. Ньютон И. Математические работы. М.– Л., ОНТИ. 1937.
16. Ньютон И. Всеобщая арифметика. М.–Л., Изд-во АН СССР. 1948.
17. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Т.1‒2 СПБ. 1915.
18. Лопиталь Г.Ф. Анализ бесконечно малых. М.– Л., ГТТИ. 1935.
19. Больаи Я. Аппендикс. Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную… М., Гостехиздат. 1950.
20. Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса. 1911.
21. Галуа Э. Сочинения. М.– Л., ОНТИ. 1936.
22. Гильберт Д. Основания геометрии. М., ГТТИ. 1938.
23. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса. 1914.
24. Дирихле Л.Р. Лекции по теории чисел. М.– Л., ГТТИ. 1936.
25. Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. М.–Л.,ГТТИ. 1930.
26. Ковалевская С.В. Научные работы. М., Изд-во АН СССР. 1948.
27. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. М., Наука. 1985.
28. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,Наука.1986
29. Коши О. Алгебраический анализ. М. 1864.
30. Коши О. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении. СПБ. 1831.
31. Лаплас П. Опыт философии теории вероятностей. М. 1908.
32. Лобачевский Н.И. Собрание сочинений в 5 т. М., ГТТИ. 1946‒1951.
33. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М., Изд-во Ан СССР. 1951.
34. Лузин Н.Н. Лекции об аналитических множествах. М., ГТТИ. 1953.
35. Ляпунов А.М. Избранные труды. М.– Л., Изд-во Ан СССР. 1948.
36. Марков А.А. Избранные труды. М.– Л., Изд-во АН СССР. 1951.
37. Монж Г. Приложения анализа к геометрии. М., ГТТИ. 1936.
38. Монж Г. Начертательная геометрия. Л., Гостехиздат. 1947.
39. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., Гостехиздат. 1956.
40. Остроградский М.В. Избранные труды. М., Изд-во АН СССР. 1948.
41. Петерсон К.М. Об изгибании поверхностей // ИМИ. 1952, вып.5.
42. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М., ГТТИ. 1947.
43. Пуанкаре А. Избранные труды. М., Наука. 1971‒1974. т.1–3.
44. Риман Б. Сочинения. М., Гостехиздат. 1948.
45. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений: В 5 т. М.– Л., Изд-во АН СССР. 1944–1951
46. Чебышев П.Л. Избранные труды. М.– Л., Изд-во АН СССР. 1955.
47. Эйлер Л. Универсальная математика: В 2 т. СПБ. 1768–1769.
48. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами либо максимума, либо минимума. М.– Л., ГТТИ. 1934.
49. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М., Гостехиздат. 1949.
50. Эйлер Л. Интегральное исчисление: В 3 т. М., Гостехиздат. 1956‒1958.
51. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных: В 2 т. М., Физматгиз. 1961.

Список литературы по истории математики

Литература, используемая при составлении курса, находится в открытом и бесплатном доступе по ссылкам http://pyrkov-professor.ru/Default.aspx?tabid=106 и http://pyrkov-professor.ru/Default.aspx?tabid=113 .

Для изучения в первую очередь рекомендуется:

1. Колмогоров А.Н. Математика в её историческом развитии. Под ред. В.А. Успенского. М., Наука. 1991.
2. Рыбников К.А. История математики. М., Изд. Московского университета. 1994.
3. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. Т. 1–3. М., Наука. 1970–1972.
4. Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М., Наука. 1978.
5. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М., Наука. 1981.
6. Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М., Наука. 1987.
7. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. Издание 3-е. М., УРСС. 2007.
8. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. М., Наука. 1968.

Для более глубокого изучения некоторых вопросов курса можно использовать:

1. Рыбников К.А. Введение в методологию математики (тезисы лекций). М., Изд-во механико-математического ф-та МГУ. 1994–1995.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., ИЛ. Издание 2-е. М., УРСС. 2006.
3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М., Наука. 1989.
4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М., Наука. 1990.
5. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М., Мир. 1987.
6. Хрестоматия по истории математики. Под ред. Юшкевича А.П. М., Просвещение. Т. 1–2. 1976–1977.
7. Очерки по истории математики. Под ред. Б.В. Гнеденко. М., Изд. Московского университета. 1997.

 

Курс по истории и методологии механики

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К КУРСУ «ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ МЕХАНИКИ»

Введение.

В традициях школы Н.Д. Моисеева курс истории и методологии механики построен на следующей периодизации:

1) учение о равновесии и его предпосылки и зарождение учения о движении (античность, средние века);

2) научная революция XVI – XVII вв. и создание фундамента классической механики;

3) промышленный переворот и развитие механики в XVIII – середине XIX вв.;

4) преимущественное развитие специальных механических дисциплин в эпоху развитого машинного производства (XIX и начало XX вв.).

Основа такой периодизации сводится к попытке наметить важнейшие поворотные моменты развития механики, качественные различия более ранних и более поздних эпох истории познания законов простейших форм движения материи.

При изучении истории механики совершенно необходимым является знакомство хотя бы с одним из классических произведений механиков (список изданий первоисточников будет приведен ниже). Желательно, чтобы произведение было выбрано из той области механики, в которой студент специализируется.

Изучение равновесия системы методом рассмотрения перемещений.

Общая характеристика развития техники, архитектуры, строи­тельного искусства, представлений о картине мира. Преимущественное развитие количественной теории равновесия (от античности до ХVI в.). Специфика задач о подъеме и передвижении грузов посредством "простых машин". Изучение равновесия системы методом рассмотрения перемещений грузов в "простой машине". Трактат "Механические проблемы". "Книга карастуна" Сабита ибн Корры (IX в.). Средневековое понятие "тяжести сообразно положению". Элементарная форма принципа виртуальных скоростей в трудах Галилея, Декарта. 

Использование в античной и средневековой технике разнообразных «простых машин», из которых важнейшей является рычаг, выдвигало вопрос о простейшем расчете действия этого приспособления. Задачи такого характера пробуждали интерес к величине тех перемещений грузов, которые возникли бы при нарушении равновесия «простой машины». При этом наибольшее внимание уделялось вертикальной составляющей перемещения, так называемому естественному перемещению или согласного природе. При этом в механике возникает важнейшее понятие работы силы; Ученые древности (а затем средневековья) постепенно приходят к установлению элементарной формы принципа возможных перемещений.

Изучающим материал следует особенно четко уяснить себе значение трудов Галилея и Декарта по элементарной статике. Значение научных вкладов Галилея и Декарта в этом направлении сводится к следующему:

1. Они дали четкую количественную формулировку «золотого правила статики», являющегося упрощенной формой современного принципа возможных перемещений.
2. Они подчеркнули всеобщность и универсальность этого закона равновесия.
3. Они впервые выявили необходимость рассмотрения бесконечно малых перемещений точек, в которых приложены силы веса в «простой машине».

Литература:               [1], гл. 3

[2], гл. 3

[3], гл. 1, с. 29‒34

[4], разд. 1, гл. 1, § 1‒3

[5], разд. 1, гл. 1, § 1‒7

Геометрическое направление учения о равновесии.

Основополагающее значение для этого направления имеют труды Архимеда. Необходимо знать приведенные в учебнике постулаты и уметь доказывать 6-ю теорему методом Архимеда. Следует также обратить внимание на главные идеи и структуру трактата Архимеда «О плавающих телах». Здесь на базе двух постулатов о свойствах покоящейся жидкости выводится ряд положений и, в частности, то, которое теперь называют законом Архимеда.

Завершением геометрического направления элементарной статики послужили труды Симона Стевина, вошедшие в его трактат «Начала статики». Наиболее важным достижением статики Стевина является введение им принципа сложения сходящихся сил по правилу параллелограмма.

Первые попытки гармонически сочетать при решении задач статики оба принципа – принцип сложения сил и принцип возможных перемещений – наблюдаются в трудах Торричелли и Паскаля в XVII в.

Литература:               [1], гл. 4

[2], гл. 4

[3], гл. 2, 3 с. 35–45

[4], разд. 1, гл. 1, § 4–5

[5], с. 57, 58, 60–65, 69–76

 Возникновение учения о движении тел.

Характерной чертой элементарного учения о движении было отсутствие количественных расчетов и количественных законов движений, таких, как падение тел, движение небесных тел и др. Необходимо отдельно остановиться на взглядах Аристотеля: его понятия движения, «масса тела», естественное и насильственное движение, закон насильственных движений. Он не признавал существования пустоты и считал, что тяжелые тела падают быстрее легких.

Тесно связан с аристотелевской механикой трактат Птолемея, посвященный обоснованию геоцентрической системы мира.

Плодотворное влияние на развитие правильных представлений о законах движения тяжелых тел оказало понятие «импетуса». Нужно обратить внимание на эволюцию этого понятия в трудах ученых позднего средневековья – предшественников Галилея: Буридана, Орезма, Леонардо да Винчи, Тартальи, Кардано, Доминико Сото.

Литература:      [1], гл. 5

[2], гл. 5

[3], разд. 3, гл. 1, 2 с. 46–55

[4], разд. 1, гл. 2, § 1–5

[5], разд. 1, гл. 2, § 6 с. 57, 58, 60–65, 69–76

Преодоление догм схоластики в механике. Труды Коперника и Кеплера. Научное значение гелиоцентрической системы мира.

Мореходство, проблема сче­та времени и астрономические ориентации в море, проблема совершенст­вования календаря были тесно связаны с уточнением и пересмотром античной и средневековой теории движения небесных тел.

Гипотеза Коперника как основа гелиоцентрической системы мира. Идео­логическая борьба вокруг учения Н. Коперника. Необходимо знать сущность содержания трактата «Об обращении небесных тел».

Одним из героических защитников коперниканства был немецкий математик, астроном и физик И. Кеплер. Нужно знать его основные достижения и сочинения по небесной механике. Уметь излагать и анализировать три закона И. Кеплера о движении небесных тел. 

Литература:       [1], гл. 6 § 6.1–6.3

 [2], гл. 6 § 6.1–6.3

 [3], разд. 4, гл. 1, 2 с. 56–68

 [4], разд. 1, гл. 2, § 5–6

 [5], разд. 1, гл. 2, § 6 с. 105–110

Создание научных основ динамики в трудах Галилея.

Галилей сумел убедительно показать несостоятельность многих основных положений Аристотеля и его последователей в схоластической науке. Галилей в «Беседах…» впервые дал строгое до сих пор употребляемое определение равномерно-переменного движения. Он построил теорию движения тел, когда их скорость растет пропорционально времени. Надо усвоить методику использования Галилеем диаграммы Орезма. Это был первый строгий математический аппарат в учении о движении. Нужно иметь представление о тех экспериментальных средствах и методах проведения опытов, которыми владел Галилей. Он проводил эксперименты не с отвесным свободным падением, а со скольжением тяжелых гладких тел по гладким наклонным плоскостям. Галилею было ясно, что конечная скорость падения тяжелого тела с заданной высоты не зависит от формы гладкого пути падения: будь то наклонная плоскость или дуга окружности, или отвесная прямая. Такое утверждение (о зависимости скорости падения только от высоты при отсутствии сопротивления) содержит первую элементарную форму закона сохранения механической энергии.

Большое значение имеет теория движения тяжелых тел, брошенных под углом к горизонту, созданная Галилеем. Притом Галилей сформулировал в примитивной форме закон инерции. Он хорошо представлял, что эта теория полезна для артиллерийской практики.

Важнейшие вклады Галилея в разработку научных основ динамики:

1. Установление принципа относительности классической механики (в трактате «Диалоги …»).
2. Установление и использование закона инерции.
3. Построение абстрактной теории (кинематики) равнопеременного движения.
4. Первые попытки научного эксперимента.
5. Теория параболических движений брошенных тяжелых тел (при этом вводится и используется еще один важный закон – закон сложения скоростей по правилу параллелограмма).

Литература:      [1], гл. 6 § 6.4

[2], гл. 6 § 6.4

[3], разд. 4, гл. 2 с. 69–76

[4], разд. 1, гл. 2, § 7

[5], с. 111–121

Задача о соударении тел.

Учение о механическом движении в трактате "Начала филосо­фии" Декарта.  Он придавал теории удара величайшее естественно-научное значение. Декарт считал, что все явления природы (вплоть до психических) можно свести к механическому движению мельчайших частиц материи, следовательно, все в мире можно объяснить механически. Декарт высказал весьма плодотворную идею сохранения количества движения в изолированной системе, примером которой может служить система двух соударяющихся тел. Количеством движения он считал арифметическую величину произведения массы тела на его скорость. В трактате «Начала философии» он высказал законы механики: закон инерции (не отличающийся высокой степенью четкости), закон сохранения количества движения. Следует отметить правильный подход Декарта к понятию массы, к категории пространства и времени.

Конкурс Лон­донского Королевского общества по теории удара. Важные результаты в этой области были получены Реном, Валлисом, Гюйгенсом.

Спор о мере движения.  Нужно иметь отчетливое представление о споре в XVII в. относительно правильной меры движения, а также о роли трудов И. Бернулли в установлении энергетической закономерности механики. Следует обратить внимание, как постепенно устанавливались правильные абстракции абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.

Литература:      [1], гл. 6 § 6.5–6.6

[2], гл. 6 § 6.5–6.6

[3], разд. 4, гл. 2 с. 76–85

[4], с. 71–76

[5], с. 153–159

Задача о движении простого математического маятника.

Трактат Гюйгенса "Маятниковые часы", его прикладное и теоретическое значение.  Гюйгенс сконструировал маятниковые часы, использовав свойство маятника сохранять период колебания при небольших размахах. Студенты должны представлять содержание разделов «О падении тяжелых тел и их движении по циклоиде» и «О центре качания». В первом из них Гюйгенс стремится получить теорию движения тяжелой материальной точки вдоль линии в вертикальной плоскости, опираясь на сочетание закона инерции, закона сложения движений и закона сохранения энергии (в их элементарной форме). В разделе «О центре качания» разработан вопрос об определении длины простого «математического» маятника, период колебания которого совпал бы с периодом колебания данного «физического», что имеет большое значение для развития теории движения системы материальных точек. Необходимо знать основные выводы Гюйгенса, касающиеся центробежной силы (в его трактате «О центробежной силе»). Вводя понятие центробежной силы, Гюйгенс устанавливает закон связи величины центробежной силы при равномерном движении по кругу с его радиусом, периодом обращения и линейной скоростью.

Существенные вклады в теорию движения простого маятника сделал также Р. Гук. Важны идеи Гука об использовании маятниковых часов для изучения величины ускорения силы тяжести.

Литература:       [1], гл. 6 § 6.7.

[2], гл. 6 § 6.7.

[3], разд. 4, гл. 2 с. 86

[4], с. 66–70

[5], разд. 2, гл. 1, § 1, 2.

Завершение научной революции в ХVII в., построение механической картины мира.

Назрела потребность систематизации огромного фактического мате­риала механики. Жизнь и творчество Ньютона.

В 1687 г. выходят знаменитые «Математические начала натуральной философии» Ньютона. Этот трактат является фундаментом классической механики: в нем содержится сводка основных понятий и законов динамики, кроме того, дается прекрасно количественно разработанная механическая картина мира. Изучающие должны глубоко уяснить смысл основных формулировок Ньютона в разделах его «Начал…», носящих названия: «Определения» и «Аксиомы или законы движения». Основные понятия и законы механики Ньютона приведены дословно и затем разъяснены в книгах [1–5]. Желательно познакомиться с соответствующими разделами «Начал…» Ньютона по первоисточнику. Надо внимательно познакомиться со структурой и основным содержанием трактата Ньютона, обратив особое внимание на создание Ньютоном всемирного закона тяготения. Опираясь на этот закон, Ньютон построил строгую математическую теорию движения небесных тел Солнечной системы, теорию приливов и отливов, теорию движения комет, исследовал трудный вопрос о форме земли и др. Ньютон считал, что все физические и даже химические явления можно объяснить на базе закона тяготения.

Нужно обратить внимание на подход Ньютона к законам Кеплера в первой книге «Начал…», доказываемым на основе известных предположений, а в третьей книге – принимаемым за исходные явления для доказательства закона всемирного тяготения. В совокупности задач, рассматриваемых ньютоном во второй книге «Начал…», нужно обратить внимание на постановку задачи внешней баллистики с учетом сопротивления воздуха. Такие успехи естествознания были бы невозможны без соответствующего развития математических методов.

Сравнение картезианской и ньютонианской натурфилософии.

Новые формы организации науки – научные общества, академии, журналы.

Литература:      [1], гл. 7 § 7.1; 7.2; 7.3

[2], гл. 7 § 7.1, 7.2, 7.3

[3], разд. 4, гл. 3 с. 95–112; разд. 5, гл. 1.

[4], с. 76–85; 88–92.

[5], с. 164–177; 182–201.

Трактат Вариньона "Новая механика" – обобщение достижений ста­тики до ХVII в. включительно. 

Трактат Вариньона – пример трактата, направленного на решение конкретных технических задач механики в переходный период. Он является весьма систематическим и содержательным изложением основных законов геометрического варианта технической статики.

Студентам необходимо знать совокупность основных законов статики, развитых у Вариньона; принципы, положенные в основу трактата; метод сложения сил; самое понятие силы.

Литература:      [1], гл. 7 § 7.4

[2], гл. 7 § 7.4

[3], разд. 4, гл. 3 с. 113

[4], разд. 2, гл. 1. § 5.

[5], разд. 2, гл. 2, § 3.

ПРОМЫШЛЕННЫЙ ПЕРЕВОРОТ И ЕГО ВЛИЯНИЕ НА РАЗВИТИЕ МЕХАНИКИ в XVIII и в начале XIX века.

Особенности промышленного переворота в развитых странах Европы.

Этот период охватывает две трети XVIII в. и весь XIX в. С точки зрения развития техники он охватывает эпоху промышленного переворота и время перехода к крупной фабрично-заводской промышленности в основных странах Европы, введение парового двигателя. Круг задач механики необычайно сильно вырос и расширился в связи с требованиями, предъявляемыми со стороны техники и смежных отраслей естествознания. На базе познанных ранее законов механика нового периода вырабатывает аналитический аппарат в виде дифференциальных уравнений движения материальной точки, абсолютного твердого тела и идеальной жидкости.

Обратить внимание на организацию научно-исследовательской работы в Европе (XVIII век).

Геометрическое направление статики.

Развитие геометрической статики в ХVIII – начале XIX в. (работы Д. Бернулли, Л. Пуансо).

У Д. Бернулли понятие силы является основным. Изображается сила отрезком, длина которого соответствует величине силы. В основу его теории положены гипотезы о возможности замены сил эквивалентными им силами. С этими тремя гипотезами необходимо ознакомиться. Правило параллелограмма сил у Д. Бернулли доказывается геометрически и имеет довольно сложный вид.

Прежнее направление геометрической статики, основанной на принципе сложения и разложения сил, наиболее полное свое завершение находит в трактате Л. Пуансо «Элементы статики». В этом трактате введено понятие пары сил и разработана теория пар, что позволило ему ввести метод приведения произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, к заданному центру и получить шесть уравнений равновесия системы сил (в общем и частном случаях). Пуансо ввел важное понятие сил реакций связей («сил сопротивления»), что позволило разрешить задачи о равновесии систем со связями (механизмов и «машин»). Необходимо уметь воспроизвести доказательства Пуансо теорем о равнодействующей двух сил, приложенных в одной точке.

Литература:       [1], гл. 9 § 9.1.

[2], гл. 9 § 9.1.

[3], разд. 5, гл. 2 с. 128

[4], разд. 3, гл. 1. § 1.

Статика, основанная на принципе виртуальных скоростей.

В «Новой механике» Вариньона была дана формулировка принципа виртуальных скоростей (по письму И. Бернулли).

В аналитический период главные результаты были достигнуты в трудах Парижской Политехнической школы. Особенно следует отметить труды Л. Карно, являющегося представителем кинематического направления в механике. Карно считает важными два принципа механики: принцип Торричелли, который утверждает, что равновесие имеет место при наинизшем положении центра тяжести системы тел, подверженных действию одной только силы тяжести, и принцип Декарта, который дает одну из формулировок «золотого правила» статики. Силу Карно понимал как произведение массы тела на его ускорение. Сочетая принципы Торричелли и Декарта, и применяя их к произвольной системе сил, Карно дает аналитическую запись принципа виртуальных скоростей, которую нужно знать.

Исключительно важную роль в развитии аналитической механики сыграли труды Лагранжа. Особенно важным трудом является его «Аналитическая механика». Первая часть трактата посвящена статике, вторая – динамике.

В первой части вводится понятие силы как основное понятие механики. статика Лагранжа основана на принципе виртуальных скоростей, который можно рассматривать как своего рода аксиому механики. Следует обратить внимание на то, что общая формула статики Лагранжа фактически выражает принцип виртуальных перемещений, а не скоростей. То, что Лагранж называл «моментом сил», позже стали называть работой сил на виртуальных перемещениях точки (с обратным знаком). Рассматривая различные случаи возможных перемещений системы в целом, Лагранж выводит условия равновесия системы в каждом таком случае. Он получает шесть уравнений равновесия твердого тела под действием произвольной системы сил.

При рассмотрении свойств равновесия, относящихся к «максимуму и минимуму», Лагранж рассматривает функцию П – то, что теперь называют потенциальной энергией. Необходимым и достаточным условием равновесия системы под действием консервативных сил является существование экстремума этой функции. Выводя условия равновесия систем со связями, Лагранж использует метод неопределенных множителей, физический смысл которых – величина нормальной реакции связи.

Лагранж впервые создал аппарат аналитической статики, применив его не только к системам твердых тел и материальных точек, но и к упругим телам, и к жидкостям.

Для развития аналитической статики важной является разработка М.В. Остроградским принципа виртуальных перемещений для случая систем с неудерживающими связями. Необходимо разобрать в качестве примера случай равновесия материальной точки на гладкой освобождающей поверхности (он приведен в рекомендуемой литературе).

Литература:      [1], гл. 9 § 9.2, 9.3.

[2], гл. 9 § 9.2, 9.3.

[3], разд. 5, гл. 2 с. 134, 140

[4], разд. 3, гл. 1. § 1, 2.

Аналитическая динамика до середины XIX века.

В XVIII в. происходит развитие и совершенствование аппарата математического анализа. Характерной чертой этого периода является дальнейшее проникновение методов математики в механику и физику. Впервые создается аналитическая механика. В связи с этим внутри математического анализа начинается формирование таких разделов как обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, дифференциальная геометрия, элементы теории функций комплексного переменного, вариационное исчисление и др. Ведущая роль в создании этих направлений принадлежит великому математику XVIII в. Леонарду Эйлеру.

Труды Эйлера по динамике точки и твердого тела.

В трудах Л. Эйлера создан новый математический аппарат – аппарат дифференциальных уравнений, с успехом примененный им ко множеству трудных задач механики.  Особое место среди всех исследований Эйлера занимают два трактата: «Механика, или наука о движении, изложенная аналитически» и «Теория движения твердых тел».

Эйлером изложена теория движения свободной и несвободной материальной точки без учета сопротивления среды и в сопротивляющейся среде. В трактате «Механика…» изложены три основных закона динамики: закон инерции, закон ускоряющих сил и закон независимости действия сил. Опираясь на эти законы, Эйлер выводит естественные уравнения движения точки (их нужно уметь составить).

В трактате «Теория движения твердых тел» Эйлер проектирует силы и движения на декартовы неподвижные оси, получает три дифференциальных уравнения движения материальной точки. В трактате исследуется динамика твердого тела на основе динамики точки. Выработан ряд важных научных абстракций, например, «момент инерции», «главная ось» тела. В трактате впервые движение твердого тела в общем случае представляется как поступательное и вращательное.

Изучающим необходимо знать содержание основных трактатов Эйлера и уметь составлять уравнения движения (можно в современной форме) точки и твердых тел.

Литература:      [1], гл. 10 § 10.1.

[2], гл. 10 § 10.1.

[3], разд. 5, гл. 3 с. 144.

[4], разд. 3, гл. 2. § 1.

[5], разд. 3, гл. 3, § 1.

Принцип Даламбера и его предыстория.

При изучении трактата Даламбера «Динамика» необходимо уяснить себе, что автор ставит задачу свести учение о движении к единственному принципу – принципу равновесия «потерянных побуждений к движению» (если воспользоваться терминологией Я. Бернулли, впервые предложившего аналогичный принцип). Потерянные движения определяются как геометрические разности сообщенных точкам движений и истинных, т.е. тех, которые могут совершать точки системы во взаимосвязанном движении.

Принцип Даламбера сам по себе является только принципом сведения условий движения системы к условиям ее равновесия. Поэтому для получения дифференциальных уравнений движения системы одного принципа Даламбера недостаточно, необходимо соединить его с каким-либо принципом статики системы.

Литература:      [1], гл. 10 § 10.2.

[2], гл. 10 § 10.2.

[3], разд. 5, гл. 3 с. 155.

[4], разд. 3, гл. 2. § 3.

[5], разд. 3, гл. 3, § 3.

Общая формула динамики Лагранжа.

Лагранж задался целью найти стандартные приемы решения различных задач о движении механических систем со связями. Он дает аналитическое выражение потерянных сил. А так как под действием потерянных сил система должна быть в равновесии, то он применяет принцип виртуальных скоростей (или принцип возможных перемещений) к потерянным силам. Так получается знаменитая общая формула динамики.

Студенты должны четко усвоить основное содержание трактата Лагранжа «Аналитическая механика», и особенно те важные результаты, которые Лагранж получил из общей формулы динамики: общие теоремы динамики системы, различные формы дифференциальных уравнений движений и т.д.

Литература:      [1], гл. 10 § 10.3.

[2], гл. 10 § 10.3.

[3], разд. 5, гл. 3 с. 162–163.

[4], разд. 3, гл. 2. § 1–5.

[5], разд. 3, гл. 3, § 4.

Важнейшие результаты аналитической динамики. Локально-вариационные принципы отбора истинных состояний движения.

Предпосылками развития локально-вариационных принципов динамики явились такие задачи естествознания и техники, где требовался расчет мгновенных вариаций условий движения: задача об отражении и преломлении света, о соударении тел и др. В плане решения таких задач был введен принцип наименьшего действия Мопертюи, который дал своему принципу теологическую трактовку. Обсуждение и критика этого принципа привели к тому, что Л. Эйлер дал аналитическую форму принципу наименьшего действия. В новой формулировке Эйлера принцип превратился в интегрально-вариационный.

Интерес к локально-вариационным принципам возобновился на рубеже XVIII и XIX вв. Развитие экспериментальных методов точного естествознания сделало актуальными вопросы математической обработки результатов измерений при опытах и наблюдениях.

Прекрасно разработанный метод наименьших квадратов Гаусса привел его к установлению ценного принципа механики – принципа наименьшего принуждения.

Студенты должны знать содержание локально-вариационного принципа Гаусса и его аналитической формой (Шефлера).

Интегрально-вариационные принципы отбора истинных состояний движения.

Между принципом наименьшего действия, имеющего несколько видоизменений (форма Эйлера, форма Лагранжа, форма Якоби) и принципом стационарного действия Гамильтона–Остроградского существует существенное различие. Разница заключается не только в выражении количества действия в обоих принципах, но и в классе сравнимых движений. Принцип наименьшего действия – изоэнергетический. Тогда как принцип стационарного действия – изохронный.

Литература:      [1], с. 206‒208; гл. 12 § 12.1.

[2], гл. 12 § 12.1.

[3],  с. 164–165; 174–182.

[4], с. 136–155 .

Специфика запросов к механике со стороны техники и смежных разделов естествознания в XIX в.

В первой половине XIX в., не довольствуясь разнообразным применением паровых машин, коэффициент полезного действия которых был низким, инженерная мысль упорно ищет другие типы двигателей. В начале XX в. стала разрабатываться гидродинамическая теория турбомашин в трудах Ф. Пражиля, Г. Лоренца, А. Стодола, Г.Ф. Проскуры, Н.Е. Жуковского, С.А. Чаплыгина и др.

Сущность теории состояла в применении гидродинамических уравнений Эйлера для течения жидкости в канале рабочего колеса турбины. Следует отметить тесную идейную связь новой трехмерной теории турбины с одномерной теорией такого же аппарата, созданной самим Эйлером полтора столетия назад. Коэффициент полезного действия турбин оказался значительно выше, чем у парового двигателя. Разнообразие и усложнение запросов техники к механике способствовало появлению, развитию и обособлению множества специальных механических дисциплин. Это становилось главной чертой развития механики в XX в. Однако процесс дробления механики на самостоятельные отрасли начался раньше: примерно с середины XIX в. Основное внимание ученых в области механики переносится шаг за шагом с проблем общих закономерностей механических движений на исследование более узких прикладных проблем.

Литература:      [1], гл. 11 § 11.1.

[2], гл. 11 § 11.1.

Направление индустриальной механики в Европе, эффективное решение практических проблем наиболее точными методами. Парижская политехническая школа.

После выхода в свет «Аналитической механики» Лагранжа ряд ученых конца XVIII в. (прежде всего представители Парижской Политехнической школы) посвящают свои исследования вопросу об основных законах статики.

Ж. Фурье в «Мемуаре о статике…» дает доказательство принципа виртуальных скоростей для системы со связями на основе закона сложения и разложения сил. Наиболее существенным моментом дальнейшего анализа Фурье является запись условия равновесия системы с неудерживающими связями, которые сводятся к требованию неположительности суммарной работы (если говорить современным языком) всех сил, приложенных к точкам системы, на любом возможном перемещении.

Другой современник и коллега Лагранжа по Парижской Политехнической школе Пьер Лаплас, один из виднейших ученых того времени, основатель классической небесной механики, ввел и разработал понятие сил реакций связей. По существу, он ввел также представление об идеальных связях. В этом отношении интересен вывод Лапласа принципа виртуальных скоростей из принципа геометрической статики.

В начале XIX столетия в парижской Политехнической школе началось преподавание курса построения машин. Кроме курсов теории машин и механизмов, которые под разными названиями стали преподаваться в технических училищах Европы, (в этих курсах разрабатывались некоторые теоретические вопросы механики, в особенности кинематики), возникли и другие механические дисциплины.

Целостное изложение кинематики находим во многих сочинениях ученых второй половины XIX в.

Индустриальная механика разрабатывает эффективные графические методы статики и кинематики; здесь же изучаются действия маховых колес и различных профилей зубчатых передач, центробежных регуляторов, часовых механизмов; исследуется удар частей машины, сопротивление трения и другие прикладные вопросы.

Литература:      [1], гл. 12 § 12.2.

[2], гл. 12 § 12.2.

Преимущественное развитие специальных механических дисциплин в XIX в. и начале XX в.  

В конце XIX в. в ряде высших учебных заведений Европы и Росси зарождаются новые специальные механические дисциплины:

• внешняя баллистика;
• теория вращательного движения твердого тела;
• теория механизмов;
• теория малых колебаний и устойчивости движения;
• строительная механика, теория сопротивления материалов и теория упругости;
• гидромеханика и аэромеханика;
• механика реактивного движения тел переменного состава.

Литература:      [3], с. 181–236.

[5], с. 347–386

ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ В РОССИИ.

Основание Петербургской Академии наук и Московского университета.

Петербургский университет начал свое существование во времена Ломоносова и Эйлера, будучи первоначально организован как академический университет, назначением которого была подготовка грамотных отечественных кадров. Однако вследствие преобладания в России домашнего образования, недостаточного по уровню подготовки молодежи для университета, Петербургский университет фактически прекратил свое существование к середине XVIII в. Благодаря усилиям М.В. Ломоносова в 1755 г. был открыт Московский университет.

Поначалу курс прикладной математики читали И.А. Рост, Д.В. Савич, М.И. Панкевич, Ф.И. Чумаков, Д.М. Перевощиков.

Существенно новые черты, соответствующие новым запросам общественно-экономической жизни страны, проявились в педагогической деятельности Н.Д. Брашмана и А.С. Ершова. Выдающимися учениками Брашмана и учителями Жуковского были А.Ю. Давидов и Ф.А. Слудский.

Н.Е. Жуковский оставил неизгладимый след в развитии механики основополагающими трудами в области теоретической и прикладной механики, аэрогидромеханики и по ряду специальных проблем механики.

Первым профессором механики Петербургского университета (он был вновь организован в 1819 г.), был Д.С. Чижов (ученик Остроградского по Педагогическому институту). Многие выпускники Московского университета стали профессорами Петербургского – П.Л. Чебышев, И.И. Сомов, А.М. Ляпунов и др.

Близко к работам петербургских математиков примыкают исследования С.В. Ковалевской, результаты которой по достоинству были оценены европейскими учеными и Чебышевым. Благодаря его поддержке Ковалевская была избрана членом-корреспондентом российской Академии наук.

Первая половина XIX в. характеризуется повышением уровня преподавания и ростом квалификации профессоров и преподавателей. Московская школа механиков сложилась в 60-х годах. В 1864 г. было создано Московское математическое общество, инициатором создания которого и первым президентом стал профессор Московского университета Н.Д. Брашман. Основные интересы московских механиков лежали в области прикладной математики (Н.Е. Жуковский, С.А Чаплыгин).

Следует подчеркнуть, что важнейшим принципом деятельности обеих школ было тесное сочетание строгой теории и практической нацеленности научной тематики.

После образования СССР и переезда Академии наук из Петербурга в Москву советские механики стали работать вместе, образовав тем самым один из самых выдающихся научных коллективов XX в.

Литература:      [1], гл. 12 § 12.3.

[3],  с. 249–254.

[5], с. 443–472 .

 

Список вопросов к зачету по истории механики

СПИСОК  ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ

1. Преимущественное развитие статики (от античности до ХVI в.). Специфика задач о подъеме и передвижении грузов посредством "простых машин". Изучение равновесия системы методом рассмотрения перемещений грузов в "простой машине". Трактат "Механические проблемы". "Книга карастуна" Сабита ибн Корры (IX в.). Средневековое понятие "тяжести сообразно положению".
2. Понятие потенциального плеча у Леонардо да Винчи. Элементарная форма принципа виртуальных скоростей в трудах Галилея, Декарта.
3. Проблемы расчета равновесия неизменяемых конструкций: колонн, опертых балок, мостов, плит. Развитие геометрической статики. Труды Архимеда по механике.
4. Трактат С. Стевина "Начала статики". Доказательство правила равновесия грузов на двух наклонных плоскостях. Закон сложения и разложения сил.
5. Попытки увязки двух подходов к изучению равновесия: кинематического и   геометрического в трудах Торричелли и Паскаля.
6. Первые универ­ситеты Европы.  Зарождение учения о движении. Атомисты древности. Теория импетуса. Запросы артиллерии в ходе внедрения огнестрельного оружия; попытки объяснения движения снаряда (Леонардо да Винчи, Кардано, Тарталья).
7. Элементы кинематики в астрономических трудах Аристарха, К. Птолемея, Бируни и др. Формирование некоторых понятий кинематики в Мертонской шкале. Диаграмма Орезма.
8. Проблема совершенст­вования календаря. Гипотеза Н. Коперника как основа    гелиоцентрической системы мира. Идео­логическая борьба вокруг учения Н. Коперника. Гибель Дж. Бруно.
9. Законы И. Кеплера о движении небесных тел.   "Рудольфианские таблицы" И. Кеплера.
10. Задача расчета движения падающего и брошенного тяжелого тела. Научная деятельность Г. Галилея, его борьба за гелиоцентри­ческое воззрение. Количественный эксперимент в исследованиях Галилея. Трактат «Диалог о двух главнейших системах мира…». Принцип относительности по Галилею.
11. Анализ формирования основных понятий и законов динамики в трактате "Беседы и математические доказательства…" Г. Галилея.  1-й и 3-й День.
12. Анализ формирования основных понятий и законов динамики в трактате "Беседы и математические доказательства…". Прикладное значение параболической теории Г. Галилея о полете снаряда. 
13. Академии наук в Европе (в т.ч. в Петербурге). Учение о механическом движении в трактате "Начала филосо­фии" Р. Декарта.
14. Роль явления удара в картезианской физике. Конкурс Лон­донского Королевского общества по теории удара. Спор о мере движения.
15. Трактат Х. Гюйгенса "Маятниковые часы", его прикладное и теоретическое значение. 
16. Завершение научной революции в ХVII в., построение механической картины мира.   Гипотеза обратных квадра­тов Р. Гука и теория тяготения И. Ньютона.
17. Трактат "Начала…" И. Ньютона. Полеми­ка картезианцев и ньютонианцев.
18. Трактат "Начала…" И. Ньютона. Определения, аксиомы и законы механики.
19. Трактат "Начала…" И. Ньютона. 1-я и 2-я Книги.
20. Трактат "Начала…" И. Ньютона. 3-я Книга.
21. Трактат П. Вариньона "Новая механика…" ‒ обобщение достижений ста­тики до ХVII в. включительно. Аксиомы и принципы статики Вариньона. Доказательство Леммы XVI.
22. Трактат П. Вариньона "Новая механика…". Доказательство необходимого и достаточного условия равновесия твердого тела под действием 3-х непараллельных сил на плоскости. Элементы графостатики. Принцип возможных перемещений.
23. Развитие геометрической статики в ХУШ ‒ начале XIX в. (работы Д. Бернулли, Л. Пуансо).  Аксиомы и леммы статики в трактате Пуансо «Начала статики».
24. Трактат Л. Пуансо «Начала статики».  Элементы теории пары сил. Условия равновесия свободного твердого тела. Объяснение парадокса весов Роберваля.
25. Развитие аналитической статики в трактате Л. Карно "Опыт о ма­шинах вообще", использование заменяющей схемы грузов вместо системы сил, приложенных к точкам машины.
26. Развитие аналитической статики в трактате Лагранжа "Аналитическая механика". Разработка принципа виртуальных скоростей. Общая формула статики.
27. Развитие аналитической статики в трудах ученых Па­рижской Политической школы (Ж. Фурье, П. Лаплас и др.). Дальнейшая разработка принципа виртуальных скоростей в трудах М.В. Остроградского и его школы.     
28. Развитие динамики материальной точки в трудах Л. Эйлера.
29. Развитие динамики твердого тела в трудах Л. Эйлера.
30. Задача о колебании составного (физического) маятника. Предпосылки и предыстория принципа Даламбера. Принцип Даламбера.
31. Принцип Германа-Эйлера. Трактовка принципа Даламбера Ш. Делоне.
32. Трактат Ж. Лагранжа «Аналитическая механика». Общая формула дина­мики механической системы.
33. Общая формула дина­мики механической системы, вывод Лагранжем из этой формулы первой теоремы динамики системы.
34. Общая формула дина­мики механической системы, вывод Лагранжем из этой формулы второй   теоремы динамики системы.
35. Общая формула дина­мики механической системы, вывод Лагранжем из этой формулы третьей теоремы динамики системы.
36. Общая формула дина­мики механической системы, вывод Лагранжем из этой формулы   уравнений в обобщенных координатах. (Ур-я Лагранжа 2-го рода).
37. Общая формула дина­мики механической системы, вывод Лагранжем из этой формулы дифференциальных уравнений несвободного движения системы.
38. Принцип наименьшего действия по Мопертюи, по Эйлеру и по Лагранжу.
39. Дальнейшее развитие аналитической механики в XIX в.  Принцип стационарного действия В. Гамильтона и К. Якоби.
40. Дальнейшее развитие аналитической механики в XIX в.  Принцип наименьшего принуждения К. Гаусса.
41. Направление индустриальной механики в Европе, эффективное решение практических проблем наиболее точными методами. Парижская политехническая школа. Выделение кинематики из общего учения о движении.
42. Особенности развития механики в России. Организация Петербургской академии наук. Деятельность Л. Эйлера в Петербургской академии наук. Первые русские академики. Деятельность М.В. Ломоносова.
43. Основные предпосылки создания Московского университета. Первоначальная организация преподавания механики в Московском университете.
44. Организация кафедры механики в Московском университете (Н.Д. Брашман, А.С. Ершов, В.Я. Цингер, А.Ю. Давидов, Ф.А. Слудский, Ф.Е. Орлов).
45. Научная и педагогическая деятельность Н.Е. Жуковского
46. Научная и педагогическая деятельность С.А. Чаплыгина.

Список литературы по истории механики

Первоисточники:

1. Аристотель. Физика. М., Гос.соц.экон. изд-во. 1937
2. Архимед. Сочинения. М. Наука, 1962
3. Бируни. Сборник статей под ред. С.П. Толстого, М.-Л. Изд. АН СССР, 1950
4. Коперник Н. О вращениях небесных сфер. М. Наука, 1964
5. Декарт Р. Начала философии. Избранные произведения. Гос.изд.полит.литер.1950
6. Гюйгенс Х. три мемуара по механике. М.-Л.Изд. Ан СССР, 1951
7. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Тт.1,2, СПб, 1915
8. Бернулли И. Избранные сочинения по механике. М.-Л., ГТТИ, 1937
9. Бернулли Д. Гидродинамика. Л., Изд. АН СССР, 1959
10. Эйлер Л. Основы динамики точки. М.-Л. ГТТИ, 1938
11. Даламбер Ж. Динамика. М., Гостехтеориздат, 1950
12. Лагранж Ж. Аналитическая механика. ТТ.1-2, М.-Л., Гостехтеориздат, 1950
13. Остроградский М.В. Избранные труды. Л. Изд. АН СССР, 1958
14. Пуансо Л. Начала статики. Петроград. 1920
15. Жуковский Н.Е. Собр. Соч. 1-е изд., т.9, 1939
16. Кирпичев В.Л. Беседы о механике. М.-Л. ГТТИ, 1933

Основная литература:

1. Тюлина И.А., Чиненова В.Н. История механики сквозь призму развития идей, принципов и гипотез. М., URSS. 2013; 2017.
2. Тюлина И.А., Чиненова В.Н. История механики ч. I, ч. II - М., изд. МГУ. 2002.
3. Тюлина И.А. История и методология механики, М., изд. МГУ. 1979.                                                                                               http://publ.lib.ru/ARCHIVES/T/TYULINA_Irina_Aleksandrovna/_Tyulina_I.A..html
4. Тюлина И.А., Ракчеев Е.Н. История механики, изд. МГУ. 1962.
5. Моисеев Н.Д. Очерки развития механики. М., изд. МГУ. 1961.

Для более глубокого изучения некоторых вопросов курса можно использовать:

1. Белый Ю.А. Иоганн Кеплер. М., Изд. АН СССР, 1971
2. Боголюбов А.Н. История механики машин. Киев. Наукова думка, 1964
3. Вавилов С.И. Исаак Ньютон. М., Изд. Ан СССР, 1951
4. Веселовский И.Н. Очерки по истории теоретической механики, М.:"Высшая школа", 1974.
5. Геронимус Я.Л. Очерки о работах корифеев русской механики. М., Гостехтеориздат, 1952.
6. Григорьян А.Т. Механика от античности до наших дней, М., Наука, 1971.  
7. Григорьян А.Т. Очерки по истории механики в России, М., изд. АН СССР. 1961.
8. Голубев В.В. Николай Егорович Жуковский. М. Изд. МГУ, 1947.
9. Голубев В.В. Сергей Алексеевич Чаплыгин. М. Изд. МГУ, 1951.
10. Григорьян А.Т. История механики с древнейших времен до конца ХVIII в. М. -Л., Наука, 1972. 
11. Григорьян А.Т. История механики с конца ХVIII до середины XX в. М.-Л.: Наука, 1973.
12. Ишлинский А.Ю. Галилео Галилей. В сб.: Галилей и современность. М., Знание, 1964, с. 5-15
13. Ишлинский А.Ю. Ленинская теория познания и классическая механика. Изд. Ан.СССР. Механика твердого тела, №2, 1970
14. Ишлинский А.Ю. Основные принципы и понятия классической механики – объединяющий центр естественных наук 18-20 вв. в кн.: Синтез современного научного знания. М. Наука, 1973, с.516-524.
15. Ишлинский А.Ю. Механика относительного движения и силы инерции. М. Наука, 1981
16. Ишлинский А.Ю. Механика. Идеи, задачи, приложения. М. Наука. 1985.
17. Кирсанов В.С. Научная революция XVII века. М. Наука.1987
18. Крылов А.Н. Мысли и материалы о преподавании механики. М.-Л. Изд. Ан СССР, 1943
19. Луи де Бройль. По тропам науки. М., ИЛ, 1962.
20. Меркулова Н.М. История механики газов. М. Наука, 1978.
21. Механика в Московском университете. М., Айрис-Пресс. 2005.
22. Моисеев Н.Д. Очерки развития теории устойчивости. М., ГИТТЛ, 1949.
23. Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. М. Наука, 1966
24. Развитие механики в СССР. Сб. статей под ред. А.Ю. Ишлинского. М. Наука, 1967.
25. Савин Г.Н., Путята Т.В., Фрадлин Б.Н. Очерки развития механики, Киев, Наукова думка, 1964.
26. Cедов Л.И. Галилей и основы механики. М. Наука, 1964
27. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей, сплошных сред. УМН Т.ХХ. Вып.5, 1955
28. Седов Л.И. Размышление о науке и об ученых. М. Наука 1980
29. Философия науки. Общий курс. Под ред. С.А. Лебедева. Учебное пособие для ВУЗов. М.: Академический Проект, 2005.
30. Яковлев В.И. Предыстория аналитической механики. М.-Ижевск. РХД. 2001.