Механико-математический факультет

Заседание 01 марта (пятница) 2019 года, аудитория 1408, начало в 14:10.

Об одном подходе к решению

линейных дифференциальных уравнений

с переменными коэффициентами.

Применение в механике композитов.

В. И. Горбачёв

МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

В рамках единого подхода рассматриваются линейные дифференциальные уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типов с переменными коэффициентами, зависящими от координат и времени (исходные уравнения). Показано, что решение каждого из исходных уравнений выражается с помощью интегральной формулы через решение уравнения того же типа, только с постоянными коэффициентами (сопутствующее уравнение). В ядро интегральной формулы входит разность исходных и сопутствующих коэффициентов, помноженная на функцию Грина исходного уравнения. Из интегральной формулы получено эквивалентное представление решения исходного уравнения в виде ряда по всевозможным производным от решения сопутствующего уравнения. Коэффициенты ряда являются непрерывными функциями координат. Они существенно зависят от функциональной зависимости коэффициентов исходного уравнения от координат и обращаются в нуль при совпадении исходных и сопутствующих коэффициентов. Они названы структурными функциями. Для определения структурных функций построена система рекуррентных уравнений. В случае периодических исходных коэффициентов структурные функции, вдали от границы тела также  являются периодическими функциями с теми же периодами. Вблизи границы выделяется пограничный слой, в котором структурные функции меняются от своих периодических значений к заданным на граничным.

Заседание 15 марта (пятница) 2019 года, аудитория 1408, начало в 14:10.

Численные схемы без насыщения

для линейных операторов,

действующих на периодические функции,

и их приложение к решению плоских краевых задач для полигармонического уравнения.

А. Г. Петров

Институт проблем механики имени А. Ю. Ишлинского РАН

Доклад посвящен конструированию численных схем без насыщения для линейных операторов, действующих на периодические функции. Понятие насыщаемости и ненасыщаемости численной схемы введено К. И. Бабенко. В зависимости от числа узлов сетки N погрешность насыщаемых численных схем убывает по степенному закону N^-k , тогда как в схеме без насыщения она убывает значительно быстрее по экспоненциальному закону Exp(- C N). Предлагается общий метод конструирования схем без насыщения. В качестве примеров выведены формулы без насыщения для вычисления производных, интегралов, интерполяции и интегральных операторов с логарифмической особенностью.

Рассматриваются приложения к построению схем без насыщения для решения общих краевых задач для гармонического и бигармонического уравнений на плоскости. Для этого используется интегральное уравнение на произвольном гладком замкнутом граничном контуре. Интегральные операторы действуют на функции, определенные на контуре и имеющие естественный период, равный длине контура. При увеличении числа узлов сетки по арифметической прогрессии погрешность решения по схеме без насыщения убывает по геометрической прогрессии. Предлагаемый метод иллюстрируется на ряде примеров решений краевых задач с приложениями к механике.

Заседание 29 марта (пятница) 2019 года, аудитория 1408, начало в 14:10.

О некоторых задачах

прикладной лаборатории

кафедры дифференциальных уравнений

механико-математического факультета МГУ

А. С. Шамаев

МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

В докладе будут представлены постановки задач и некоторые результаты исследований недавно созданной прикладной лаборатории кафедры дифференциальных уравнений. Они касаются современной наноэлектроники, оптики, проблем радиолокации и радиометрии океана, моделей ползучих грунтов, методов управления тепловыми потоками и колебаниями вязкоупругих систем. Будут сформулированы также некоторые новые задачи из области математической биологии.