Заседание Московского математического общества 25 декабря 2018 г.

(начало в 18 час. 30 мин., ауд. 16-10 Главного здания МГУ)

 

Комплексные числа вращения и пузыри

Н.Б.Гончарук (лауреат премии ММО 2018)

 

Доклад посвящён следующей конструкции Арнольда (1978).

Пусть f -- аналитический диффеоморфизм окружности R/Z, a+ih -- комплексное число, h>0. Возьмем цилиндр {z \in C/Z | 0<Im z<h} высоты h и склеим его края по отображению f+a+ih. Получим комплексный тор -- эллиптическую кривую. Ее модуль называется комплексным числом вращения отображения f+a+ih. Например, если f(x)=x+r -- поворот, то комплексное число вращения равно r+a+ih.

Как комплексное число вращения зависит от a+ih? Как оно ведет себя при h->0?

Ответы на эти вопросы были получены в серии работ Э.Рислера, Ю.С.Ильяшенко, В.Молдавского, Кс.Бюффа и докладчика. Оказалось, что комплексное число вращения голоморфно по a+ih в верхней полуплоскости h>0 и непрерывно продолжается на вещественную ось h=0. В точках a, где число вращения f+a иррационально, предел комплексного числа вращения равен вещественному. Остальные его предельные значения на вещественной оси образуют фрактал .пузыри., тесно связанный с языками Арнольда.

Я расскажу об этом результате и о других вещах, которые известны нам о геометрии пузырей: размере, форме, самопересечении, самоподобии.

Категория: 
Опубликовано 20 декабря 2018 - 22:14 пользователем Кирилл Владимирович Семенов